Resuelve los enteros positivos $x,y,z$

Question

Encontrar enteros positivos $x,y,z$ tal que: $$(x+y)(1+xy)=2^z.$$

He encontrado algunas soluciones para esta ecuación: $(1,1,2)$ y $(1,3,4),(3,5,7),...,(2^k-1,2^k+1,2^{3k}+1)$ .

Creo que tiene un número infinito de soluciones pero no sé cómo resolverlas todas.

Answer 1

Una forma de atacar el problema es darse cuenta de que si el producto es una potencia de 2, entonces cada factor debe ser uno, por lo que tenemos para algunos enteros $r,s \ge 0$

$$x+y=2^r, 1+xy=2^s$$

y esto conduce a una ecuación cuadrática:

$$y=2^r-x \rightarrow 1+x(2^r-x)=2^s \rightarrow x^2-2^rx +2^s-1=0$$

que tiene las soluciones:

$$x_{1,2}=2^{r-1} \pm \sqrt{2^{2r-2}-2^s+1}.$$

Así que queda por averiguar para qué valores de $r,s$ el término $2^{2r-2}-2^s+1$ es un cuadrado completo.

Se puede ver fácilmente que $r=0$ no produce soliciones positivas para $x$ y $y$ .

La serie de soluciones que has encontrado corresponde a $s=2r-2$ donde el término bajo la raíz cuadrada es simplemente $1$ y obtenemos

$$x=2^{r-1}-1, y=2^{r-1}+1, z= r+s=3r-2$$

que corresponde a su solución con $k:=r-1$ .

Existe otra serie de soluciones para $s=r$ ya que entonces el término crítico se convierte en $$2^{2r-2}-2^r+1=2^{2r-2}-2\times2^{r-1}+1=(2^{r-1}-1)^2,$$

y obtenemos con

$$x=1, y=2^r-1, z=r+s=2r$$

otra serie de soluciones. El $(1,1,2)$ que has encontrado es el valor inicial de la serie para $r=1$ y continúa con $(1,3,4)$ (este valor aparece en ambas series), entonces $(1,7,6),(1,15,8)$ , a.s.o.

¿Hay más soluciones? No lo sé.

Es posible seguir mirando $2^{2r-2}-2^s+1$ pero ninguna de las técnicas que he probado ha dado resultado.