Dada una solución, ¿cómo puedo saber si existe una ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden para ella?

Question

Me dan una solución $y = at^n$ (fijo)

Y luego preguntó si existe una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden para ello.

Mi línea de pensamiento actual es que puedo simplemente sustituir la solución en la forma de una ED y si la ecuación resultante "parece correcta", entonces existe. Sin embargo, me molesta que no se me ocurra una solución que sea problemática.

Así es como lo estoy haciendo:

La solución es $y = 2/t$

$y' = 2 * (-1) * 1/t^2 = -2/t^2$

$y'' = -2 * -2 * 1/t^3 = 4/t^3$

Ecuación diferencial resultante:

$y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$

$(4/t^3) + p(t)*(-2/t^2) + q(t)*(2/t) = 0$

Simplificado a:

$2t^{-2} - p(t)*t^{-1} + 2q(t) = 0$

Y entonces asumiría que no hay nada descaradamente malo en esta configuración. Sin embargo, creo que me falta algo.

Answer 1

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la forma

$P(t)y''(t) + Q(t)y'(t) + R(t)y(t) = G(t)$ para funciones continuas $P,Q,R,G$ y $y$ dos veces diferenciable en algún intervalo abierto. El caso homogéneo se da cuando $G(t) = 0$ para todos $t$ reduciéndose a:

$P(t) y''(t) + Q(t)y'(t) + R(t)y(t) = 0$ .

Dado que $y(t) = \frac{2}{t}$ y utilizando su trabajo, vemos que una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden para $y$ debe ser de la forma:

$\frac{4}{t^3}P(t) - \frac{2}{t^2}Q(t) + \frac{2}{t}R(t) = 0$ .

Así que la pregunta equivale a, ¿puede encontrar continuos $P,Q,R$ que satisfacen lo anterior?

Answer 2

Esto es lo que yo recomendaría. Multiplicar ambos lados de la ecuación por $t^{-n}$ (o $t^{-n+1}$ si lo prefieres), y luego diferenciar ambos lados dos veces. Por supuesto, eso no será la solución completa de dicha ecuación diferencial, pero será una solución.