Podría alguien explicarme la siguiente duda que tengo sobre la integral impropia: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$ Sigo pensando que como las integrales significan áreas que esto evalúa a 0 en lugar de DNE (No existe).
Entiendo que la solución de notación límite para esta integral impropia devuelve DNE, pero las áreas de $-\infty$ à $\infty$ cancelar.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La intuición es común. Puede ser intuitivo decir $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} dx+\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x} dx=$$ $$\lim_{a \rightarrow 0^+} \lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int_{a}^b \frac{1}{x} dx +\int_{-b}^{-a} \frac{1}{x} dx\right)=\lim_{a \rightarrow 0^+} \lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int_{a}^b \frac{1}{x} dx -\int_{a}^b \frac{1}{x} dx\right)=0$$ Sin embargo, se podría decir con la misma facilidad que cualquier $c$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx=\lim_{a \rightarrow 0^+} \lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int_{a\cdot e^{-c}}^b \frac{1}{x} dx -\int_{a}^b \frac{1}{x} dx\right)$$ $$=c$$ o
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx=\lim_{a \rightarrow 0^+} \lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int_{a/b}^b \frac{1}{x} dx -\int_{a}^b \frac{1}{x} dx\right)$$ $$=+\infty$$ o
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx=\lim_{a \rightarrow 0^+} \lim_{b \rightarrow \infty} \left(\int_{a}^b \frac{1}{x} dx -\int_{a}^{b/a} \frac{1}{x} dx\right)$$ $$=-\infty$$
StubbornAtom
Puntos
188
El argumento de limitación de la integral impropia es claramente el camino a seguir.
Tenga en cuenta que $x=0$ es el único punto de discontinuidad infinita del integrando $\frac{1}{x}$ sur $(-\infty,\infty)$ .
Así, $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx$
$=\displaystyle\lim_{\substack{\epsilon \to 0+ \\A \to -\infty }}\displaystyle\int_{A}^{0-\epsilon}\frac{1}{x}\,dx +\displaystyle\lim_{\substack{\delta \to 0+ \\ B\to \infty}}\displaystyle\int_{0+\delta}^{B}\frac{1}{x}\,dx$ $\quad$ [siempre que exista cada uno de los límites en el R.H.S.]
$=\displaystyle\lim_{\substack{\epsilon \to 0+ \\A \to -\infty }}(\ln {\epsilon}-\ln {|A|})+\displaystyle\lim_{\substack{\delta \to 0+ \\B \to \infty }}(\ln {|B|}-\ln {\delta})$ $\quad$
Cada uno de esos límites no existe. Por lo tanto, la integral impropia diverge.
Si ponemos $\epsilon=\delta$ y tomar $\epsilon \to 0+$ entonces vemos que
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\displaystyle\lim_{\substack{\epsilon \to 0+ \\ A\to -\infty \\B\to \infty}}(\ln {\epsilon}-\ln {|A|}+\ln {|B|}-\ln {\epsilon})=\displaystyle\lim_{\substack{ A\to -\infty \\B\to \infty}}\left(\ln {\left|\frac{B}{A}\right|}\right)$ que todavía no existe.
Sin embargo, si se toma la integral más simple $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ (que también diverge), se puede ver que en el caso especial cuando $\epsilon=\delta, \epsilon \to 0+$ el límite se evalúa como $0$ .
Esto se llama el valor principal de Cauchy de la integral, que coincide con su intuición de simetría de áreas de la función impar.
JonDoig
Puntos
1
Ya que quiere preguntar por qué $\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{x} + \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}$ no es igual a cero; simplemente se deduce ya que estas integrales no convergen.
Considere $\int_{0}^{\infty}\sin(x)$ a medida que nos acercamos al infinito las áreas siempre se anulan después del período fijo y el valor de la integral en cualquier punto mayor que cero nunca supera $\int_{0}^{\pi} sin(x) = 2$ pero como el $lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x}sin(t)dt = \int_{0}^{\infty}sin(t)dt$ no converge esa integral no está definida.
Así que, sencillamente, si se integrara con una operación recién inventada como ésta:
$lim_{x \to 0^{-},0^{+} \gets x} \int_{-x_{0},x_{0}}^{x}\frac{1}{t} dt$ obtendrá cero, pero por definición, estos límites unilaterales no existen.
user115350
Puntos
36
Creo que lo que has dicho tiene sentido. Es el momento de entender mejor la integración impropia. Por definición la integral impropia es el límite de la integral propia. En este caso, tienes cuatro integrales.
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$ $$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$ $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$ $$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$
Ninguno de ellos es DNE. Por lo tanto, la suma es DNE según la definición actual de los libros de texto, a menos que usted haga su propia definición. Tomando como ejemplo lo siguiente $$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx}$$
Si se cambia la definición por la siguiente, la integral es cero. $$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \ \mathrm{ dx} = \lim_{t \rightarrow 0} (\int_{-1}^{t} \frac{1}{x}\mathrm{ dx} +\int_{t}^{1} \frac{1}{x}\mathrm{ dx})$$
Así que, intuitivamente, las áreas se anulan. Por lo que de alguna manera tenemos que cumplir con la definición.
