Carga de Noether de las simetrías locales

Question

Si nuestro Lagrangiano es invariante bajo una simetría local, entonces, simplemente restringiendo nuestra simetría local al caso en el que la transformación es constante sobre el espacio-tiempo, obtenemos una simetría global, y por lo tanto una carga Noether correspondiente.

Sin embargo, como esta carga de Noether no procede de una simetría cualquiera, sino de una simetría local, podríamos decir algo especial sobre ella. En particular, creo que la carga de Noether debería desaparecer, pero no sé por qué. Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?

(Obsérvese que no quiero hacer la suposición de que local=grande (es decir, no físico)).

Answer 1

Supongamos que la densidad lagrangiana

$$\tag{1} {\cal L} ~=~ {\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x), x) $$

no depende de las derivadas de orden superior $\partial^2\phi$ , $\partial^3\phi$ , $\partial^4\phi$ etc. Dejemos que

$$\tag{2} \pi^{\mu}_{\alpha} ~:=~ \frac{\partial {\cal L}}{ \partial (\partial_{\mu}\phi^{\alpha})} $$

denotan el de Donder Momentos y que

$$\tag{3} E_{\alpha}~:=~ \frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi^{\alpha}} - d_{\mu} \pi^{\mu}_{\alpha} $$

denotan el Ecuaciones de Euler-Lagrange . Supongamos, para simplificar, que la cuasi-simetría local infinitesimal $^1$ transformación

$$\tag{4} \delta_{\varepsilon} \phi^{\alpha}~=~ Y^{\alpha}(\varepsilon) ~=~Y^{\alpha}\varepsilon + Y^{\alpha,\mu} d_{\mu}\varepsilon $$

es vertical $^2$ y que no depende de las derivadas de orden superior del infinitesimal $x$ -parámetro dependiente $\varepsilon$ . [Se entiende implícitamente que los coeficientes de estructura $Y^{\alpha}$ y $Y^{\alpha\mu}$ son independientes del parámetro $\varepsilon$ . Si la teoría tiene más de un parámetro de simetría $\varepsilon^a$ , $a=1, \ldots m$ En este caso, sólo estamos investigando una simetría local (y su ley de conservación) a la vez]. La corriente de Noether desnuda $j^{\mu}(\varepsilon)$ son los momentos de los generadores de simetría

$$\tag{5} j^{\mu}\varepsilon + j^{\mu,\nu}d_{\nu}\varepsilon ~=~j^{\mu}(\varepsilon) ~:=~ \pi^{\mu}_{\alpha}Y^{\alpha}(\varepsilon) ,$$

$$\tag{6} j^{\mu}~:=~ \pi^{\mu}_{\alpha}Y^{\alpha}, \qquad j^{\mu,\nu}~:=~ \pi^{\mu}_{\alpha}Y^{\alpha,\nu}. $$

(De nuevo, se entiende implícitamente que los coeficientes de estructura $j^{\mu}$ y $j^{\mu\nu}$ son independientes del parámetro $\varepsilon$ etc.) Que la transformación infinitesimal (4) es una cuasi-simetría local $^1$ implica que la variación de la densidad lagrangiana ${\cal L}$ wrt. (4) es una divergencia total espacio-temporal

$$ d_{\mu} f^{\mu}(\varepsilon) ~=~ \delta_{\varepsilon} {\cal L} ~\stackrel{\begin{matrix}\text{chain}\\ \text{rule}\end{matrix}}{=}~ \frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi^{\alpha}} Y^{\alpha}(\varepsilon) + \pi^{\mu}_{\alpha}d_{\mu}Y^{\alpha}(\varepsilon) $$ $$\tag{7} ~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leibniz'}\\ \text{rule}\end{matrix}}{=}~ E_{\alpha}Y^{\alpha}(\varepsilon) + d_{\mu} j^{\mu}(\varepsilon). $$

Aquí $^3$

$$ \tag{8} f^{\mu}(\varepsilon) ~=~ f^{\mu}\varepsilon + f^{\mu,\nu}d_{\nu}\varepsilon +\frac{1}{2} f^{\mu,\nu\lambda}d_{\nu}d_{\lambda}\varepsilon $$

son algunas funciones con

$$\tag{9}f^{\mu,\nu\lambda}~=~f^{\mu,\lambda\nu}. $$

La totalidad de $\varepsilon$ -corriente de Noether dependiente $J^{\mu}(\varepsilon)$ se define como $^3$

$$\tag{10} J^{\mu}\varepsilon + J^{\mu,\nu}d_{\nu}\varepsilon +\frac{1}{2} J^{\mu,\nu\lambda}d_{\nu}d_{\lambda}\varepsilon ~=~J^{\mu}(\varepsilon) ~:=~ j^{\mu}(\varepsilon) - f^{\mu}(\varepsilon), $$

donde

$$\tag{11}J^{\mu,\nu\lambda}~=~J^{\mu,\lambda\nu}. $$

Las ecuaciones (7) y (10) implican la $\varepsilon$ -dependiente identidad de Noether fuera de la carcasa

$$ \tag{12} d_{\mu} J^{\mu}(\varepsilon) ~=~ -E_{\alpha}Y^{\alpha}(\varepsilon) . $$

El $\varepsilon$ -La identidad de Noether (12) dependiente de la cáscara es la identidad clave. Descomponiéndola en su $\varepsilon$ -componentes independientes conduce al siguiente conjunto (13)-(16) de identidades,

$$ \tag{13} d_{\mu}J^{\mu} ~=~-E_{\alpha} Y^{\alpha} , $$

$$ \tag{14} J^{\mu} + d_{\nu} J^{\nu,\mu}~=~-E_{\alpha} Y^{\alpha,\mu} ,$$

$$ \tag{15} J^{\nu,\lambda}+J^{\lambda,\nu}+d_{\mu}J^{\mu,\nu\lambda} ~=~0 , $$

$$ \tag{16} \sum_{{\rm cycl}.~\mu,\nu,\lambda}J^{\mu,\nu\lambda} ~=~0, $$

de acuerdo con Segundo teorema de Noether . La Ec. (13) es sólo la identidad de Noether habitual fuera de la cáscara, que puede derivarse de la simetría global sólo a través de Primer teorema de Noether (donde $\varepsilon$ es $x$ -independiente). Como es bien sabido, la ec. (13) implica una ley de conservación en la cáscara

$$ \tag{17} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0, $$

o más explícitamente escrito como

$$ \tag{18} \frac{d Q}{dt}~\approx~ 0,\qquad Q~:=~\int_{V} \! d^3V ~J^0. $$

(Aquí el $\approx$ denota igualdad en las ecuaciones de Euler-Lagrange $E_{\alpha}\approx 0$ . Hemos asumido que las corrientes $J^i$ , $i\in\{1,2,3\}$ desaparecen en la frontera $\partial V$ .)

El resto de las ecuaciones (14)-(16) se pueden reformular como sigue. Definir el segunda corriente de Noether ${\cal J}^{\mu}(\varepsilon)$ como $^4$

$$ \tag{19} {\cal J}^{\mu}\varepsilon + {\cal J}^{\mu,\nu}d_{\nu}\varepsilon +\frac{1}{2} {\cal J}^{\mu,\nu\lambda}d_{\nu}d_{\lambda}\varepsilon ~=~ {\cal J}^{\mu}(\varepsilon)~:= ~ J^{\mu}(\varepsilon)+ E_{\alpha} Y^{\alpha,\mu}\varepsilon. $$

Satisface una $\varepsilon$ -ley de conservación fuera de la cáscara dependiente

$$ d_{\mu} {\cal J}^{\mu}(\varepsilon) ~\stackrel{(12)+(19)}{=}~ -E_{\alpha}Y^{\alpha}(\varepsilon)+d_{\mu}(E_{\alpha} Y^{\alpha,\mu}\varepsilon)$$ $$ \tag{20}~\stackrel{(13)+(14)}{=}~ - \varepsilon d_{\mu}d_{\nu} J^{\nu,\mu}~\stackrel{(15)}{=}~\frac{\varepsilon}{2}d_{\mu}d_{\nu}d_{\lambda} J^{\lambda,\mu\nu}~\stackrel{(16)}{=}~0 . $$

Se puede introducir el llamado superpotencial ${\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)$ como $^3$

$$ {\cal K}^{\mu\nu}\varepsilon+{\cal K}^{\mu\nu,\lambda}d_{\lambda}\varepsilon~=~{\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)~=~-{\cal K}^{\nu\mu}(\varepsilon) $$ $$~:=~ \left(\frac{1}{2} J^{\mu,\nu}-\frac{1}{6}d_{\lambda}J^{\mu,\nu\lambda}\right)\varepsilon+ \frac{1}{3} J^{\mu,\nu\lambda}d_{\lambda}\varepsilon-(\mu\leftrightarrow \nu)$$ $$ \tag{21}~\stackrel{(14)+(16)}{=}~ \left( J^{\mu,\nu}+\frac{1}{3}d_{\lambda}(J^{\lambda,\mu\nu}-J^{\mu,\nu\lambda})\right)\varepsilon+ \frac{1}{3}\left( J^{\mu,\nu\lambda}-J^{\nu,\mu\lambda}\right)d_{\lambda}\varepsilon$$

Un cálculo sencillo

$$ d_{\nu}{\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon) ~\stackrel{(15)+(21)}{=}~J^{\mu,\nu}d_{\nu}\varepsilon -\varepsilon d_{\nu}\left(J^{\nu,\mu}+d_{\lambda}J^{\lambda,\mu\nu}\right)$$ $$ \tag{22}+\frac{\varepsilon}{3}d_{\nu}d_{\lambda}\left(J^{\lambda,\mu\nu}-J^{\mu,\nu\lambda}\right) +\frac{1}{3}\left( J^{\mu,\nu\lambda}-J^{\nu,\mu\lambda}\right)d_{\nu}d_{\lambda}\varepsilon ~\stackrel{(14)+(16)+(19)}{=}~{\cal J}^{\mu}(\varepsilon)$$

muestra que ${\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)$ es el superpotencial para la segunda corriente de Noether ${\cal J}^{\mu}(\varepsilon)$ . La existencia del superpotencial ${\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)=-{\cal K}^{\nu\mu}(\varepsilon)$ hace que se manifieste la ley de conservación de la cáscara (20)

$$ \tag{23}d_{\mu}{\cal J}^{\mu}(\varepsilon)~\stackrel{(22)}{=}~d_{\mu}d_{\nu}{\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)~=~0. $$

Además, como consecuencia del superpotencial (22), la correspondiente segunda carga de Noether ${\cal Q}(\varepsilon)$ se desvanece fuera del caparazón

$$ \tag{24}{\cal Q}(\varepsilon)~:=~\int_{V} \! d^3V ~{\cal J}^0(\varepsilon) ~=~\int_{V} \! d^3V ~d_i{\cal K}^{0i}(\varepsilon) ~=~\int_{\partial V} \! d^2\!A_i ~{\cal K}^{0i}(\varepsilon)~=~0, $$

si suponemos que las corrientes ${\cal J}^{\mu}(\varepsilon)$ , $\mu\in\{0,1,2,3\}$ desaparecen en la frontera $\partial V$ .

Concluimos que las restantes ecuaciones (14)-(16) se satisfacen trivialmente, y que la cuasi-simetría local no implica leyes de conservación adicionales no triviales además de las (13,17,18) ya derivadas de la correspondiente cuasi-simetría global. Nótese, en particular, que la cuasi-simetría local no obliga a que la carga conservada (18) desaparezca.

Esta es, por ejemplo, la situación de la simetría gauge en electrodinámica, donde la ley de conservación (20) de la segunda corriente de Noether ${\cal J}^{\mu}=- d_{\nu}F^{\nu\mu}$ es una trivialidad, véase también este y este Mensajes de Phys.SE. La conservación de la carga eléctrica se desprende únicamente de la simetría gauge global, cf. este post de Phys.SE. Nótese en particular, que podría haber un excedente no nulo de carga eléctrica total (18).

--

$^1$ Una transformación off-shell es una cuasi-simetría si la densidad lagrangiana ${\cal L}$ se conserva $\delta_{\varepsilon} {\cal L}= d_{\mu} f^{\mu}(\varepsilon)$ modulo una divergencia total espacio-temporal, cf. este Respuesta de Phys.SE. Si la divergencia total espacio-temporal $d_{\mu} f^{\mu}(\varepsilon)$ es cero, hablamos de un simetría.

$^2$ En este caso, para simplificar, nos limitamos a vertical transformaciones $\delta_{\varepsilon} \phi^{\alpha}$ es decir, cualquier horizontal transformación $\delta_{\varepsilon} x^{\mu}=0$ se supone que desaparecen.

$^3$ Para la teoría de campo en más de una dimensión espacio-temporal $d>1$ las funciones de estructura superior $f^{\mu,\nu\lambda}=-J^{\mu,\nu\lambda}$ puede ser distinto de cero. Sin embargo, desaparecen en una dimensión espacio-temporal $d=1$ es decir, en la mecánica puntual. Si desaparecen, entonces el superpotencial (21) se simplifica a ${\cal K}^{\mu\nu}(\varepsilon)=J^{\mu,\nu}\varepsilon$ .

$^4$ Le site segunda corriente de Noether se define, por ejemplo, en M. Blagojevic y M. Vasilic, Class. Quant. Grav. 22 (2005) 3891, arXiv:hep-th/0410111 , subsección IV.A y sus referencias. Véase también la respuesta de Philip Gibbs para el caso en que la cuasi-simetría es una simetría.

Answer 2

En su derivación más comprensible, el procedimiento de Noether deriva la corriente considerando la transformación de simetría global cuyos parámetros $\epsilon$ se hacen depender de las coordenadas espaciotemporales. Como $\delta S$ tiene que desaparecer si $\epsilon$ es constante, la variación real $\delta S$ en el caso generalizado tiene que ser proporcional a la integral de las derivadas del espaciotiempo $\partial_\mu \epsilon$ multiplicado por unos coeficientes $J^\mu$ las corrientes. Integrando por partes, se puede demostrar entonces que la corriente obedece a la ecuación de continuidad si se satisfacen las ecuaciones de movimiento.

Ahora bien, cuando la simetría es realmente local, la "generalización" de la transformación global no es una verdadera generalización: es una simetría por sí misma. Entonces, como la acción es localmente simétrica, $\delta S$ desaparece para cualquier configuración $\epsilon(x^\alpha)$ incluyendo uno no constante, lo que significa que todos los coeficientes $J^\mu$ en realidad se desvanecen por sí mismos, como has dicho. Estas condiciones (restricciones más ecuaciones de movimiento) se pueden obtener de forma equivalente a partir de la variación de campos como $A_\mu$ .

Dado que las corrientes son clásicamente evanescentes -o, utilizando una descripción más general en mecánica cuántica con un espacio de Hilbert extendido, tienen que aniquilar los estados físicos en mecánica cuántica- significa realmente que la simetría local es de la galga. No es necesario asumir este hecho; acabamos de derivarlo. Así que tampoco puedes evitarlo.

Answer 3

Consideremos una simetría local continua. Mira un elemento infinitesimal. Con esto me refiero a la siguiente transformación de campos: \begin{equation} \phi_a(x)\to\phi_a(x)+F_\alpha[\phi]g^\alpha(x)+F_\alpha^\mu[\phi]\partial_\mu g^\alpha(x)+\ldots\tag{1} \end{equation} Aquí $\phi_a$ es el conjunto de campos, $F$ son algunos funcionales específicos de la simetría, y $g^\alpha$ es el conjunto de parámetros infinitesimales que pueden depender del punto del espaciotiempo $x$ . Obsérvese que sólo considero las simetrías locales (a diferencia de las no locales), por lo que $F$ sólo puede depender de $\phi$ y un número finito de sus derivadas en el punto $x$ . También supongo, por simplicidad, que se trata de una simetría del lagrangiano (es decir, que no salen derivadas totales).

Ahora bien, obsérvese que el lado derecho de $(1)$ es sólo una variación específica de los campos, que dejan la acción invariante. Utilizando la misma técnica que en la derivación de los MOE, podemos escribir esta invariancia como $$ \delta S=\int d^dx R_\alpha(\phi,\phi',\phi'',\ldots) g^\alpha(x)=0, $$ lo que lleva a las identidades $$ R^\alpha(\phi,\phi',\phi'',\ldots)=0. $$ Si hacemos esto usando la forma explícita del Lagrangiano, estas identidades deberían ser tautológicas. Sin embargo, si no utilizamos la forma específica de la lagrangiana, sino que procedemos de forma similar a la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtendremos identidades que implican derivadas de la lagrangiana. Como se señala en el artículo al que se refiere Jia Yiyang, se pueden combinar con las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener identidades generales sobre el caparazón que implican derivadas del Lagrangiano, lo que se reduce a la conservación de la corriente habitual cuando se trata de un Lagrangiano específico. Sin embargo, no he leído el artículo con detenimiento, así que puede que se me escapen algunas ideas adicionales.

Pero esto no aborda completamente la cuestión. Obsérvese que al fijar un $g$ uno puede olvidarse de la naturaleza local y tratar \begin{equation} \phi_a(x)\to\phi_a(x)+\epsilon\left\{F_\alpha[\phi]g^\alpha(x)+F_\alpha^\mu[\phi]\partial_\mu g^\alpha(x)+\ldots\right\}\tag{2} \end{equation} como una simetría global parametrizada por $\epsilon$ . Esto incluye la tradicional simetría global como el caso específico $g=const$ . Se puede proceder con el procedimiento tradicional descrito por Luboš Motl para derivar la corriente de Noether. Sabemos que hay al menos una opción de $g$ correspondiente a una buena corriente conservada.

Proceda de la siguiente manera. Permitir $\epsilon$ depender de $x$ : $\epsilon=\epsilon(x)$ . Nótese que esto ya no corresponde a una simetría local [a menos que no haya derivadas en $g$ sur $(2)$ ]. A continuación, deduzca la primera variación de la acción. Si $\epsilon$ es constante, es una simetría, por lo que el término lineal debe depender de $\partial_\mu\epsilon$ sólo: $$ \delta S=\int d^dx \partial_\mu\epsilon J^\mu[g]. $$ Aquí he indicado que la corriente depende de la elección de $g$ . Si suponemos que se satisfacen las ecuaciones del movimiento, entonces la primera variación de la acción es cero . Esto significa que esta integral desaparece, y por integración por partes y eligiendo $\epsilon$ en forma de protuberancias locales adecuadas, demostramos que $J^\mu[g]$ se conserva.

Jaja, ¡es una broma! Si suponemos que se satisfacen las ecuaciones del movimiento, entonces la primera variación de la acción es cero . -- es una mentira. Las MOE implican la desaparición de la primera variación sólo si la variación de los campos tiene un soporte compacto/desaparece suficientemente rápido en el infinito/etc. Esto se debe a que las MOE están conectadas con la primera variación mediante una serie de integraciones por partes. Esto no es un problema para lo anterior, porque basta con considerar sólo $\epsilon$ con soporte compacto para demostrar que $$ \int d^dx \partial_\mu\epsilon J^\mu[g]=0\tag{3} $$ implica $$ \partial_\mu J^\mu[g]=0. $$ Sin embargo, esta pequeña sutileza es extremadamente importante para nuestro problema. Si $(3)$ era cierto para cualquier $\epsilon$ La elección de $\epsilon=\delta\:\theta(x^0-t),\,\delta\ll 1$ llevaría a $$ \int d^{d-1}x J^0[g]=0\tag{4}. $$ Es decir, ¡implicaría que la carga de Noether asociada es cero en las ecuaciones de movimiento! ¡Pero sabemos que no es cierto para la carga eléctrica! Esto se debe a que $g=const$ junto con esta cuidada elección de $\epsilon$ conduce a una variación de los campos que no decae con la suficiente rapidez.

Pero llamemos simetrías locales sólo a las opciones de $g$ que decaen rápidamente en el infinito, y las simetrías globales son aquellas $g$ que no se comportan tan bien. Consideremos una simetría local dada por $g$ . Ahora $g$ decae radicalmente en el infinito, y toma $\epsilon=\delta\:\theta(x^0-t),\,\delta\ll 1$ (o, si se quiere ser pedante, algunas aproximaciones suaves), que está acotada. Por lo tanto, la variación $(2)$ ahora se comporta bien y tenemos $(3)$ ¡satisfecho! Esto significa que para las simetrías locales las cargas de Noether son siempre cero. Para las simetrías globales no tenemos variaciones de campo tan agradables, por lo que se permite que las cargas sean distintas de cero.

Ejemplo : Tome el lagrangiano $$ L=i\bar{\psi}\gamma^\mu(\partial_\mu+iA_\mu)\psi-\frac{1}{4q^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, $$ y para $(2)$ la transformación $$ \psi\to\psi+i\epsilon g\psi\\ A_\mu\to A_\mu-\epsilon\partial_\mu g. $$ La corriente asociada es $$ J^\mu[g]=-\bar\psi\gamma^\mu\psi g+\frac{1}{q^2}F^{\mu\nu}\partial_\nu g. $$ Ahora $g=-q$ corresponde a la corriente eléctrica tradicional. Se puede comprobar que se conserva utilizando la conservación de la corriente tradicional y la EOM $\partial_\mu F^{\mu\nu}=q^2\bar{\psi}\gamma^\nu\psi$ . Cuando se intenta calcular la carga, se obtiene, esquemáticamente $$ Q=\int d^3x\left(\rho g+E\cdot\nabla g\right) $$ usted utiliza $E\cdot\nabla g=\mathrm{div}(gE)-g\mathrm{div} E=\mathrm{div}(gE)-g\rho$ y ahora tienes la integral $$ Q=\int_{S^2} gE_n dS $$ en una esfera muy grande $S^2$ . Si $g$ decae rápidamente en el infinito, tienes cero. Si $g$ tiene medias no nulas sobre esferas grandes, entonces la integral converge sólo si estas medias se acercan a un valor constante, y en ese caso la $Q$ viene dada por el teorema de Guass-Ostrogradsky como la carga eléctrica total por esta constante.

Así que, mi La conclusión es :

• Las cargas asociadas a las simetrías locales son o bien nulas, o bien proporcionales a la carga global (si la transformación no "decae" lo suficientemente rápido), o bien divergentes (sin sentido). La razón por la que se permite que la simetría global tenga una carga es su "mal" comportamiento en el infinito.

Answer 4

En primer lugar, diré algo sobre el punto paranético del final de la pregunta. Una simetría local se define como la invariancia bajo transformaciones parametrizadas por variables de campo, es decir, funciones de coordenadas en el espacio-tiempo. Toda simetría local implica una redundancia en las ecuaciones de movimiento (por el segundo teorema de Noether). Que esto las convierta en "no físicas" es una cuestión de interpretación y debate.

La respuesta a tu pregunta "¿La carga de Noether es cero?" es "sí" para un espaciotiempo espacialmente cerrado y orientado. En ese caso, la carga total del universo es cero si la carga se deriva de una simetría local. Esto es cierto tanto para la energía en la RG como para las cargas en la teoría de Yang-Mills.

No es cierto para las simetrías globales. Un ejemplo sencillo de esto es la ecuación no relativista de Schrodinger que tiene una simetría global U(1) que asegura la probabilidad total $\int \mid\phi\mid^2 dx^3$ se conserva y es positiva, por lo que se puede normalizar a 1. Esto funciona en condiciones de frontera cíclica que dan un espacio cerrado finito, pero la probabilidad total sigue siendo uno, no cero.

Te preguntarás qué ocurre cuando añades campos gauge a la ecuación de Shrodinger con la conexión gauge habitual para una partícula cargada no relativista. Esto es posible y la carga conservada sigue estando dada por la misma expresión definida positiva. ¿Cómo puede entonces la carga ser cero en un espacio cerrado? La respuesta es que no puede y, por tanto, no hay soluciones a la ecuación de Shrodinger de tipo gauge con una función de onda distinta de cero $\phi$ en un espacio cerrado. Este no es el caso en un espacio abierto, y no es el caso para la ecuación de Dirac o para la ecuación de Klein-Gordon donde la densidad de carga no es positiva definida.

Es importante apreciar que la carga de Noether en un universo cerrado sólo es seguro que sea cero cuando se aplican las ecuaciones de campo. No es idénticamente cero, ni trivialmente cero, ni cero fuera de la envoltura, como afirman algunas personas. Sin embargo, existe una expresión alternativa no Noether para la carga que sí da cero fuera de la envoltura. Volveré sobre este punto más adelante.

Si el espacio no es cerrado e infinito entonces puede ocurrir una de dos cosas. Si hay carga repartida en regiones no limitadas del espacio, entonces la carga total no tiene sentido. Puede ser infinita o indeterminada. Si la carga se limita a una región aislada y delimitada del espacio, la carga total es una cantidad bien definida y no tiene por qué ser cero.

La parte difícil de tu pregunta es "¿cómo lo demostramos?", es decir, ¿cómo demostramos que la carga es cero en un universo cerrado? Ninguna de las otras respuestas ha dado la solución completa a esto, quizás porque interpretaron la pregunta de forma diferente, pero también porque no se ve la prueba completa en muchos sitios. Requiere los teoremas primero y segundo de Noether más un tercer teorema que fue añadido por Felix Klein que se llama el "teorema del límite"

Ecuaciones de Euler Langrange

Partimos del principio de mínima acción

$S = \int {\cal L}(\phi_a, \phi_{a,\mu}) d^4x$

donde $\phi_a$ son las variables de campo y, por simplicidad, suponemos que la lagrangiana sólo utiliza derivadas hasta la primera. La acción es estacionaria bajo pequeños cambios ${\delta}{\phi}$ a las variables de campo que se fijan en la frontera. (Hay sumas implícitas sobre los índices $a$ y $\mu$ )

${\delta}S = \int (\frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_a}\delta\phi_a + \frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_{a,\mu}}\delta\phi_{a,\mu})d^4x = \int R^a(\phi_b,\phi_{b,\mu},\phi_{b,\mu\nu})\delta\phi_a d^4x = 0$

donde utilizando la integración parcial encontramos

$R^a(\phi_b,\phi_{b,\mu},\phi_{b,\mu\nu}) = \frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_a} - \partial_\mu\frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_{a,\mu}} = 0$

Primer teorema de Noether

Supongamos que el Langrangiano es invariante bajo una transformación de las variables de campo ${\delta}\phi_a = \epsilon \Phi_a(\phi_a, x^\mu)$ para los pequeños $\epsilon$ . Esta puede ser una de las muchas transformaciones de simetría posibles, pero sólo tenemos que pensar en una. Para simplificar, sólo consideramos las simetrías internas que no transforman las coordenadas. La invariancia implica una identidad.

$\delta{\cal L} = \epsilon(\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_a}\Phi_a + \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi_{a,\mu}) = 0$

La corriente de Noether se define como

$J^{\mu} = -\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi_a$

Esto expresa la corriente como una suma sobre las contribuciones de cada campo. Su divergencia viene dada por

$J^{\mu}_{,\mu} = -\partial_\mu\frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_{a,\mu}}\Phi_a - \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi_{a,\mu} = R^a \Phi_a = 0$

El último paso no es una identidad por lo que la divergencia de la corriente de Noether sólo es cero con el cumplimiento de las ecuaciones de campo. Como la divergencia 4 de la corriente es cero sabemos que se conserva.

Segundo teorema de Noether

El segundo teorema trata de las implicaciones de la simetría local. Se supondrá que los cambios que generan la simetría dependen linealmente de un campo $\theta(x^\mu)$ y sus derivados

$\Phi_a = \Phi^0_a\theta + \Phi^\mu_a\theta_{,\mu}$

Podemos elegir $\theta(x^\mu)$ para variar mientras se mantiene en cero en el límite. La integración por partes puede utilizarse dos veces, primero para eliminar la derivada en $\Phi_a$ y en segundo lugar para eliminar la derivada en $\theta$ ,

${\delta}S = \int R^a\Phi_a d^4x = \int (R^a\Phi^0_a - (R^a\Phi^\mu_a)_{,\mu})\theta d^4x = 0$

Como esto es cierto para todos los compactos $\theta$ implica la identidad

$R^a(\Phi^0_a - \Phi^\mu_{,\mu}) - R^a_{,\mu}\Phi^\mu_a = 0$

Esto significa que las ecuaciones de movimiento no son independientes, lo que refleja la redundancia que implica la simetría local. Otro resultado de esto es que la divergencia del término que se envió a la frontera usando las dos integraciones por parte debe ser idénticamente cero y podemos comprobarlo, definiendo

$J_0^\mu = J^\mu - R^a\Phi^\mu_a\theta$

entonces

${J_0^\mu}_{,\mu} = J^\mu_{,\mu} - R^a_{,\mu}\Phi^\mu_a\theta - R^a\Phi^\mu_{a,\mu}\theta - R^a\Phi^\mu_a\theta_{,\mu} = R^a\Phi_a - R^a\Phi_a = 0$

Lo que demuestra que la corriente de Noether puede escribirse como la suma de dos términos, el primero de los cuales tiene una divergencia idéntica a cero y el segundo es cero cuando se satisfacen las ecuaciones del movimiento

$J^\mu = J_0^\mu + R^a\Phi^\mu_a\theta$

A veces, a la gente le gusta redefinir la corriente para que sea sólo el primer término y entonces dicen que la corriente se conserva trivialmente (o se conserva fuera de la envoltura) porque la divergencia de este término es cero sin necesidad de utilizar las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, es importante entender que sólo la forma original para la corriente de Noether la describe como una suma de cargas que surgen de diferentes campos y esta expresión para la corriente sólo da una carga conservada cuando las ecuaciones de campo se mantienen.

Teorema del límite de Klein

Para completar la prueba de que la carga sobre un espacio cerrado es cero necesitamos un último resultado que fue encontrado por Felix Klein basado en los resultados de Noether. Klein fue capaz de ir un paso más allá e integrar la densidad de carga sobre un espacio de volumen para reducirla a una integral sobre sólo la frontera de 2 dimensiones. Primero mira más de cerca la variación del Lagrangiano bajo pequeñas transofrmaciones gauge.

$\delta{\cal L} = \epsilon(\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_a}(\Phi^0_a\theta+ \Phi^\nu_a\theta_{,\nu}) + \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}(\Phi^0_{a,\mu}\theta + \Phi^0_a\theta_{,\mu} + \Phi^\nu_{a,\mu}\theta_{,\nu}+\Phi^\nu_a\theta_{\nu\mu})) = 0$

Para que la lagrangiana sea invariante gauge esta expresión debe ser idénticamente cero para todas las funciones $\theta(x^\mu)$ . Esto sólo puede ser cierto si los coeficientes separados de $\theta$ y sus primeras y segundas derivadas son idénticas a cero.

$\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_a}\Phi^0_a + \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi^0_{a,\mu}=0$

$\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_a}\Phi^\mu_a+\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi^0_a + \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\nu}}\Phi^\mu_{a,\nu} = 0$

$F^{\mu\nu} = \frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}\Phi^\nu_a$ es antisimétrico

Utilizando las definiciones anteriores tenemos

$J_0^\mu = J^\mu - R^a\Phi^\mu_a\theta = -\frac{\partial {\cal L}}{\partial\phi_{a,\mu}}(\Phi^0_a\theta + \Phi^\nu_a\theta_{,\nu}) - (\frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_a} - \partial_\nu\frac{\partial {\cal L}}{ \partial \phi_{a,\nu}})\Phi^\mu_a\theta$

y luego usando las identidades simplificamos esto a

$J_0^\mu = (F^{\nu\mu}\theta)_{,\nu}$

He utilizado la notación $F^{\nu\mu}$ para mostrar cómo se relaciona esto con el caso de la carga electromagnética, pero este análisis se aplica a cualquier simetría local interna. Con la expresión de la corriente en forma de divergencia de un tensor antisimétrico se deduce inmediatamente que su divergencia es idénticamente cero, pero ahora también podemos integrar la densidad de carga que es la componente cero de la corriente $\rho_0 = J_0^0 = (F^{\nu 0}\theta)_{,\nu}$ que es la divergencia de un vector de tres componentes. La carga dentro de un volumen se expresa entonces como una integral de $F^{\nu 0}\theta$ sobre la frontera que rodea el volumen. En un espacio cerrado, este volumen puede considerarse la totalidad del espacio que no tiene límites. Por tanto, la carga total es cero, que es lo que queríamos demostrar. Obsérvese una vez más que para la carga dada por el primer teorema de Noether esta carga sólo es cero cuando se aplican las ecuaciones del movimiento.

Answer 5

En primer lugar, me gustaría explicar que no es necesario suponga que que la simetría local implica simetría gauge (es decir, grados de libertad no físicos), podemos verlo a través de la ecuación de movimientos:

Una simetría local del Lagrangiano implica una simetría local de la solución de la ecuación de movimiento, por ejemplo, en el caso más simple, si $x(t)$ es una solución, entonces algún $y(t)=x(t)+\epsilon(t)$ también es una solución. Obsérvese que hasta ahora el argumento anterior puede aplicarse también a una simetría global, ahora viene la diferencia: debido a la arbitrariedad y a la localidad de $\epsilon(t)$ , también podemos hacer $x(t)$ y $y(t)$ satisfacen las mismas condiciones iniciales, no sólo la misma ecuación de movimientos, es decir, "condiciones iniciales+ecuación de movimientos" no fija unívocamente las soluciones, por lo que cantidades como $x(t)$ y $y(t)$ ciertamente no puede ser física en ningún sentido común.

En segundo lugar, sobre las leyes de conservación, una simetría global da una cantidad conservada, esto está garantizado por el primer teorema de Noether. En cuanto a una simetría local, existe el llamado segundo teorema de Noether, que no da directamente una cantidad conservada, sino que da un conjunto de identidades. Sin embargo, en ciertos sistemas estas identidades conducen a leyes de conservación, y de hecho a leyes de conservación "más fuertes" que las derivadas de las simetrías globales. Por ejemplo, el lagrangiano de la QED, la ley de conservación de la corriente del fermión $\partial_\mu J^\mu=0$ puede derivarse, por supuesto, suponiendo que se cumplen las ecuaciones de movimiento de los campos de fermiones, pero también puede derivarse utilizando estas identidades del segundo teorema de Noether y suponiendo que se cumple la ecuación de movimiento de los campos gauge. En conclusión, la corriente del fermión se conserva incluso cuando la ecuación de movimiento del campo del fermión no se satisface, por lo que es una ley de conservación "fuera de la cáscara", y es en este sentido una conservación "más fuerte" que las derivadas de las simetrías globales. Puede consultar este artículo para más detalles.