Intento demostrar la siguiente propiedad para un anillo $R$ $$a\cdot(-b)=(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$$ donde $a,b\in R$ y que $-x$ denotan la inversa aditiva de $x\in R$ . Por definición, sabemos que dicha inversa existe para todos los elementos del anillo. También dejemos que $1$ sea la identidad multiplicativa que no existe necesariamente en $R$ . Por lo tanto, no puedo encontrar una prueba rigurosa para el resultado anterior.
Respuesta
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Tenemos $$ a\cdot b + a\cdot (-b) = a\cdot (b + (-b)) = a\cdot 0 = 0 $$ por lo que vemos que $a\cdot (-b)$ cumple la propiedad definitoria de $-(a\cdot b)$ . Como la adición en un anillo da un grupo, sabemos que los inversos aditivos son únicos, por lo que debemos tener $a\cdot (-b) = -(a\cdot b)$ . Una prueba muy similar muestra que $(-a)\cdot b = -(a\cdot b)$ .
