Encuentra el determinante de la matriz A con esta transformación lineal.

Question

Considere una transformación lineal $T(x) = Ax$ de $\Bbb R^2$ à $\Bbb R^2$ . Supongamos que para dos vectores $\vec v_1$ y $\vec v_2$ sur $\Bbb R^2$ tenemos $T(\vec v_1) = 5 \vec v_2$ y $T(\vec v_2)=-6 \vec v_1$ . Hallar el determinante de la matriz $A$ .

Answer 1

Está claro que hay que asumir $v_1,v_2$ son distintos de cero. Entonces $v_1$ y $v_2$ son independientes, porque de lo contrario $v_1=kv_2$ y luego $-6k^2 v_2 =k Av_2 = Av_1= 5v_2 $ que da $k^2<0$ .

A continuación, escriba $A$ en la base $(v_1,v_2)$ y tiene la forma $$\pmatrix{0 & 5 \\ -6 & 0}$$ por lo que el determinante es $30$ .