Una de dos variables de series de Fourier y un extraño integral

Question

Recientemente he tenido ocasión de investigar la serie de Fourier de la función de $f(x,y)=\log({2+\cos 2\pi x} +\cos{2\pi y})$. En consecuencia, definir

$I(m,n)=\int_{0,0}^{1,1}f(x,y)\cos{2\pi mx}\cos{2\pi ny}dxdy$

cual es el $(m,n)$th coeficiente de Fourier. Si hay algún cambio fácil de las variables o movimiento de la muñeca para calcular $I$ cerrado en los términos, no he sido capaz de encontrarlo. Uno puede calcular $I(0,0)=\frac{4G}{\pi}-\log 2$ donde $G$ es el catalán es constante. Como para otros valores, Mathematica de integración de la rutina devuelve los valores de $I(1,1)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}$ $I(2,1)=1-\frac{10}{3\pi}$ (y se tarda unos 10 minutos por cálculo). He intentado y no ha podido afirmar lo siguiente conjetura, lo que parece razonable que presentamos aquí.

Conjetura. Si $(m,n)\neq(0,0)$,$I(m,n)=a+\pi^{-1}b$$a,b\in \mathbb{Q}$.

Por supuesto, si usted podría probar esto, sería genial para dar un cerrado fórmula para $a,b$.

La divulgación completa: Mi interés en esto se deriva de una fórmula de Kasteleyn para la función de partición de dímero revestimientos de plazas; de hecho, la evaluación de las $I(0,0)$ dada anteriormente puede ser extraído de su papel original.

Answer 1

Aquí es una prueba de la conjetura, una prueba de que también se muestra cómo calcular las integrales de forma explícita.

La prueba es algo similar a David Speyer enfoque, pero en lugar de utilizar multivariable de los residuos, que me limitaré a cambio de una variable de contorno. Sin pérdida de generalidad, $m>0$. La eliminación de las funciones trigonométricas de los rendimientos de $I(m,n)=(-1/4\pi^2) J(m,n)$, donde $$J(m,n) := \int_{|w|=1} \int_{|z|=1} \log(4+z+z^{-1}+w+w^{-1}) \, z^{m-1} w^{n-1} \, dz \, dw.$$ Fijo $w \ne -1$ sobre el círculo unidad, los valores de $z$ tal que $4+z+z^{-1}+w+w^{-1}$ es un número real negativo y su inversa; deje $g(w)$ es el valor en $(-1,0)$. La función de $\log(4+z+z^{-1}+w+w^{-1})$ $z$ se extiende para el complemento del intervalo cerrado $[g(w),0]$ en un disco de $|z|<1+\epsilon$. Reducir el contorno de la $|z|=1$ como una banda de goma para que se abraza el intervalo cerrado. Las partes superior e inferior casi cancelar, dejando $$J(m,n) = \int_{|w|=1} \int_{z=0}^{g(w)} -2\pi i \, z^{m-1} w^{n-1} \,dz \,dw,$$ con la $-2\pi i$ que proviene de la discrepancia en los valores de $\log$ en cualquiera de los lados del intervalo cerrado. Así $$J(m,n) = -\frac{2 \pi i}{m} \int_{|w|=1} g(w)^m w^{n-1} \, dw.$$ El próximo uso racional parametrización $(g(w),w) = \left( (1-u)/(u+u^2), (u^2-u)/(1+u) \right)$ que David Speyer escribió. Hay un camino de $\gamma$ $-i$ $i$en la mitad derecha de la $u$-plano que se asigna a $|w|=1$ (a la izquierda de $-1$ a sí mismo), y da la correcta $g(w)$. La integración de la resultante de la función racional de $u$ da $$J(m,n) = -\frac{2 \pi i}{m} \left.(f(u) + r \log u + s \log(1+u))\right|_\gamma = -\frac{2 \pi i}{m} (f(i)-f(-i) + r \pi i + s \pi i/2),$$ para algunos $f \in \mathbf{Q}(u)$$r,s \in \mathbf{Q}$. Esto demuestra que $I(m,n)=a + b/\pi$ algunos $a,b \in \mathbf{Q}$.

Ejemplos: Mathematica tengo las respuestas equivocadas, presumiblemente porque no entiende homotopy muy bien! Aquí están algunos de los valores reales, calculado utilizando el enfoque de arriba: $$I(1,1) = \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi}$$ $$I(2,1) = -1 + \frac{10}{3\pi}$$ $$I(20,10) = -\frac{14826977006}{5} + \frac{56979906453888224582}{6116306625 \pi}.$$

Answer 2

Yo sé cómo voy a responder a esta pregunta. Voy a escribir hasta las partes fáciles aquí, y dejar la parte más difícil para ustedes :).

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Primero algunos cambios de menor importancia. Será conveniente para eliminar denominadores y el trabajo con $\log \left( 4 + e^{2 \pi i x} + e^{- 2 \pi i x} + e^{2 \pi i y} + e^{- 2 \pi i y} \right)$. Que sólo cambia el término constante de su serie de Fourier por $\log 2$. Luego, es conveniente centrarse en $$\int_0^1 \int_0^1 \log \left( 4 + e^{2 \pi i x} + e^{- 2 \pi i x} + e^{2 \pi i y} + e^{- 2 \pi i y} \right) e^{2 \pi i m x} e^{2 \pi i n y} dx dy.$$ Una simple transformación lineal que va entre este y el coseno de la formulación. Deje $S = \{ (z,w) : |z|=|w|=1 \}$. Entonces estamos tratando con $$\frac{1}{(2 \pi i )^2} \int_S \log \left( 4+z+z^{-1} + w +w^{-1} \right) z^{m-1} w^{n-1} dz dw.$$ El abandono de la $4 \pi ^2$, queremos mostrar el integrando es de la forma $a \pi + b$.

ACTUALIZACIÓN: Gracias a fedja para señalar que había simplificada el párrafo siguiente.

Suponiendo que $(m,n) \neq (0,0)$, podemos integrar por partes con respecto a una de las dos variables, digamos $z$. Una vez que hacemos eso, vamos a tener una cantidad del formulario $$(\mbox{rational number}) \cdot \int_S \frac{(z-z^{-1}) w^k z^{\ell} dw dz} {4+w+w^{-1}+z+z^{-1}}$$

Así que nos gustaría mostrar que esta cantidad es de la forma $a+b \pi$.

Como fedja puntos, tenemos que tener cuidado aquí. Sin el $z-z^{-1}$ plazo, la integral diverge como $\int \int ds dt/(s^2 + t^2)$ cerca de $(-1,-1)$.

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¡Uf! Ahora viene el real de la parte difícil. Vamos $$E:=\{ (z,w) \in (\mathbb{C}^*)^2 : \ 4+z+z^{-1}+w+w^{-1} =0 \}.$$ Esta es una curva elíptica con cuatro perforaciones. Como Bjorn puntos, esta es una nodal cúbicos y puede ser parametrizado como $$(z,w) = \left( \frac{1-u}{u(1+u)}, \frac{u(u-1)}{1+u} \right).$$ Volveremos a este punto más adelante.

El $2$forma $dw dz/(4+z+z^{-1}+w+w^{-1})$ tiene una simple polo en $E$. Deje $\omega$ $1$- forma en $E$ que es el residuo de ese $2$-forma.

Creo que debe haber una curva de $\gamma$ $E$ tal que $S$ es homotópica, en $(\mathbb{C}^*)^2 \setminus E$, a un tubular barrio de $\gamma$. Así $$\int_S \frac{w^k z^{\ell} (z-z^{-1}) dw dz} {4+w+w^{-1}+z+z^{-1}} = \int_{\gamma} \omega w^k z^{\ell} (z - z^{-1}) .$$

Si sustituimos en la anterior parametrización, esta será la integral alrededor de un bucle cerrado de algunos racional de la función en $\mathbb{Q}(u)$. En particular, se puede calcular esta integral por los residuos y vamos a conseguir algo de la forma $a+b \pi$, como se desee.

En realidad, a mí me parece que deberíamos conseguir $b \pi$. Tal vez la integración por partes no van tan bien como se esperaba?

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Obviamente, alguien debería trabajar de esta manera explícita, pero creo que no voy a ser yo.

Answer 3

Mathematica obtiene el (1,1) en el caso de la derecha.

Integrar el x-variable para obtener una respuesta que implica que el valor absoluto de Cos[Pi y].

Luego se divide el eje integral en y=1/2 para obtener el valor correcto.

La respuesta es 1/2 - 2/Pi