$\overline{xyz} =x!+y!+z!$

Question

cómo encontrar a todos los de 3-dígitos de número entero $\overline{xyz}$ tal forma que:

$\overline{xyz} =x!+y!+z!$

Answer 1

Aquí es cómo un ser humano puede solucionar esto.

1. Ningún dígito puede ser $7$, $8$ o $9$, debido a $7! > 1000$.
2. Ningún dígito puede ser un $6$. De lo contrario, $\overline{xyz}$ al menos $720$, y su primer dígito sería de al menos $7$, contradiciendo el paso 1.
3. Debe haber al menos un dígito $5$. De lo contrario, el número entero no sería mayor que $3 \cdot 4! < 100$, y eso en la mayoría de los dos dígitos. Por lo tanto, hay un $5$.
4. No es exactamente un dígito $5$. No puede ser de tres, porque el número de $555$ claramente no encaja. No puede haber dos: de lo contrario, $\overline{xyz}$ está en algún lugar entre el$5!+5!+0!$$5!+5!+4!$, lo que significa que el primer dígito es $2$. Por lo que el número es $255$, pero no se adapta bien. Así, no es exactamente una $5$.
5. Ya que no es exactamente un $5$, $\overline{xyz}$ se entre $5!+0!+0!$$5!+4!+4!$. En cualquier caso, el primer dígito es $1$. Así, los dígitos son $1$, $5$ y algo de$0$$4$. Ahora sólo hay cinco opciones, que es ACEPTAR a comprobar con la mano. Resulta que los dígitos son $1$, $4$ y $5$, y la respuesta es $145$.

ACTUALIZACIÓN: hm, después de leer las primeras líneas de Michael Albanese la respuesta que me di cuenta de que me ignoró completamente la existencia de dos dígitos $0$. Afortunadamente, esto no afecta a la lógica de mi respuesta. He actualizado el texto de arriba para deshacerse de este error.

Answer 2

Trate de ruby:

def fac(n); s = 1; n.times do |i| s*= i+1 end; s end
(1..999).select do |n| n == fac(n%10) + fac(n/10%10) + fac(n/100) end

Buena suerte ;-)

Answer 3

Como yo estaba a mitad de camino a través de escribir esta respuesta, Dan Shved la respuesta parece que es mucho mejor que la mía, pero voy a incluir lo que tengo hasta ahora, ya que el uso de algunas ideas diferentes. Puedo reducir el número de posibilidades a $13$ (aunque, por supuesto, podría reducir este número aún más el uso de las razones que Dan respuesta).

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\begin{align*} 0! &= 1\\ 1! &= 1\\ 2! &= 2\\ 3! &= 6\\ 4! &= 24\\ 5! &= 120\\ 6! &= 720 \end{align*}

Como $7! = 5040$, cada una de las $x, y,$ $z$ entre $0$$6$. Además, en la mayoría de los una de $x, y,$ $z$ $6$ lo contrario $x! + y! + z!$ no es un número de tres dígitos (demasiado grande). De manera similar, al menos uno de $x, y,$ $z$ $5$ o $6$ lo contrario $x! + y! + z!$ no es un número de tres dígitos (demasiado pequeño). También, $x$ puede no ser $0$. Nos quedamos con $229$ posibilidades.

Tenga en cuenta que $\overline{xyz}$ no puede terminar con un $0$ o $1$ debido a que no es posible la $x$ $y$ tal que $x! + y! \equiv 9\ \textrm{mod}\ 10$.

Si $\overline{xyz}$ termina con un $2$ o $4$, debemos tener $\overline{xy} \in \{34, 43, 56, 65\}$ como estas son las únicas opciones con $x! + y! \equiv 0\ \textrm{mod}\ 10$.

Si $\overline{xyz}$ termina con un $3$ debemos tener $\overline{xy} \in \{13, 31\}$ ya que estas son las únicas opciones con $x! + y! \equiv 7\ \textrm{mod}\ 10$.

Si $\overline{xyz}$ termina con un $5$ debemos tener $\overline{xy} \in \{14, 40, 41\}$ ya que estas son las únicas opciones con $x! + y! \equiv 5\ \textrm{mod}\ 10$.

Si $\overline{xyz}$ termina con un $6$ debemos tener $\overline{xy} \in \{24, 42\}$ ya que estas son las únicas opciones con $x! + y! \equiv 6\ \textrm{mod} 10$.

Así que nos quedamos con $15$ posibilidades:

$$342, 432, 562, 652, 344, 434, 564, 654, 133, 313, 145, 405, 415, 246, 426.$$

Tenga en cuenta que $\overline{xyz}$ es divisible por $\min\{x!, y!, z!\} = (\min\{x, y, z\})!$. Esta condición está satisfecho automáticamente si el menor dígito es $0, 1,$ o $2$. Sin embargo, esta condición excluye tanto $564$ $654$ ya no son divisibles por $4!$.