¿Cómo hay que pensar en el pushforward en cohomología?

Question

Supongamos que f:X→Y. Si decoro esa primera frase con adjetivos apropiados, entonces obtengo un mapa pushforward en la cohomología H*(X)→H*(Y).

Por ejemplo, supongamos que X e Y son variedades orientadas y que f es una inmersión. Entonces existe un mapa pushforward de este tipo. En la imagen de De Rham, podemos ver esto como la integración de una forma sobre las fibras. En la imagen de la cohomología de gavillas, podemos verlo a través de la explicación del functor de imagen inversa excepcional.

La pregunta es cómo podemos pensar en este mapa de empuje. Me interesaría especialmente una respuesta desde el punto de vista de la topología algebraica, porque espero que tal respuesta eluda el nivel de generalidad apropiado en el que existe un pushforward en cohomología (quizás no sólo respondiendo a la pregunta de para qué mapas f, sino también respondiendo a la pregunta de en qué teorías de cohomología podemos llevar a cabo tal construcción).

Answer 1

Paralelamente a los dos ejemplos del OP, si una clase de cohomología se define a través de la intersección con un submanifold (o subvariedad con clase fundamental en homología localmente finita) entonces el pushforward se define a través de la intersección con la imagen de esta subvariedad. Nótese lo inmediato que es ver el cambio de codimensión ( mientras que la codimensión es constante al tomar la preimagen, que corresponde al mapa natural).

Como han dicho otros, los mapas de colapso pueden utilizarse para definir los pushforwards en general. Pero tener modelos para pushforwards cuenta para entender una teoría de cohomología particular geométricamente. Así que, por ejemplo, si puedes encontrar un buen modelo para el pushforward de tmf entonces "ganarás un premio"

Answer 2

May y Sigurdsson desarrollaron una teoría general para los mapas de transferencia en (co)homología en su trabajo sobre teoría de homotopía parametrizada . Brevemente, consideran que los mapas de transferencia surgen de las trazas de los morfismos de identidad en la categoría monoidal simétrica de los "espectros sobre una base $B$ .'' Una breve introducción que ignora los detalles técnicos (sustanciales) se ofrece en la primera mitad de estas diapositivas de beamer .

Answer 3

En el caso de que $X,Y$ son variedades lisas orientadas (compactas), se puede hacer esto utilizando corrientes. De hecho, las corrientes son formas lineales continuas en el espacio de las formas diferenciales lisas (con soporte compacto).

Existe una forma natural de impulsar las corrientes (por dualidad con el retroceso de las formas lisas). Además, la cohomología de De Rham para las corrientes es (naturalmente) isomorfa a la de las formas lisas. Por lo tanto, se puede adelantar una clase lisa considerándola una clase corriente, y utilizando entonces el isomorfismo natural anterior.

Además, tienes la fórmula de proyección: $\alpha, \beta$ son formas con el grado adecuado, entonces $f_{\star} (f^{\star} \alpha \cup \beta) = (\alpha \cup f_{\star} \beta)$ .

En resumen, el uso de corrientes permite considerar siempre la dualidad sobre la cohomología y no la dualidad entre la homología y la cohomología.