¿Cómo hay que pensar en el pushforward en cohomología?

Question

Supongamos que f:X→Y. Si decoro esa primera frase con adjetivos apropiados, entonces obtengo un mapa pushforward en la cohomología H*(X)→H*(Y).

Por ejemplo, supongamos que X e Y son variedades orientadas y que f es una inmersión. Entonces existe un mapa pushforward de este tipo. En la imagen de De Rham, podemos ver esto como la integración de una forma sobre las fibras. En la imagen de la cohomología de gavillas, podemos verlo a través de la explicación del functor de imagen inversa excepcional.

La pregunta es cómo podemos pensar en este mapa de empuje. Me interesaría especialmente una respuesta desde el punto de vista de la topología algebraica, porque espero que tal respuesta eluda el nivel de generalidad apropiado en el que existe un pushforward en cohomología (quizás no sólo respondiendo a la pregunta de para qué mapas f, sino también respondiendo a la pregunta de en qué teorías de cohomología podemos llevar a cabo tal construcción).

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son variedades cerradas, entonces se puede definir el pushforward utilizando la dualidad de Poincaré, mediante la composición previa y posterior del mapa $f_\ast\colon H_\ast(X)\to H_\ast(Y)$ con los isomorfismos de dualidad adecuados. Si las variedades no son compactas, se utiliza la homología con soporte compacto y se asume $f$ es propia (las imágenes inversas de los conjuntos compactos son compactas).

Esto supone que tus variedades están orientadas con respecto a la teoría de homología que estés utilizando. En términos más generales, se obtiene un pushforward siempre que el mapa $f\colon X\to Y$ está orientado (lo que equivale aproximadamente a una orientación en el haz normal estable de $f$ ) y propio.

Creo que un buen lugar para leer sobre esto es el libro "Teorías de la cohomología" de E. Dyer.

Hay otras formas de definir estos mapas de empuje, o Umkehr. Encontrará un tratamiento axiomático y un estudio de los diferentes enfoques en este documento de Ralph Cohen y John Klein.

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Mark un poco, una configuración bastante general es cuando su mapa $f\colon X \to Y$ tiene una fibra homotópica que es equivalente en homotopía a una variedad cerrada y compacta de dimensión $n$ . Se puede aplicar la construcción Pontryagin-Thom en sentido de la fibra para obtener un mapa de espectros $$ \Sigma^\infty Y_+ \to X^{\nu}, $$ donde $X^{\nu}$ denota el espectro de Thom del haz normal estable a lo largo de las fibras de $f$ . Este paquete tiene una dimensión virtual $-n$ . Este es el mapa umkehr que mencionó Mark. Ahora bien, si tienes una teoría de cohomología $E$ para las que las fibras son $E$ -orientable, se obtiene un isomorfismo de Thom $E^*(X^\nu) \cong E^{\ast-n}(X_+)$ y componiendo con el mapa de Umkehr se obtiene el pushforward en esta teoría de cohomología. Por ejemplo, para la cohomología singular mod-2 la condición de orientabilidad es vacua, para la cohomología integral las fibras de $f$ tienen que ser variedades coherentemente orientables, y para las verdaderas $K$ -la teoría de que las fibras tienen que tener estructuras de espín coherentes.

Answer 3

no sólo respondiendo a la pregunta de para qué mapas f, sino también respondiendo a la pregunta de en qué teorías de cohomología podemos llevar a cabo tal construcción

Ambas preguntas se responden en el libro de Buoncristiano, Rourke y Sanderson, "A geometric approach to homology theory" (disponible en google books; empieza por el capítulo 2). La respuesta es la siguiente: El pushforward $f_!:h^\ast(X)\to h^{\ast+n}(Y)$ en la teoría de la cohomología $h^\ast$ (así como el pullback en la teoría de homología dual) se define siempre que el mapa $f:X\to Y$ representa (en un sentido que se discutirá en un momento) una clase $[f]\in h^n(Y)$ . La definición de $f_!$ es simplemente por composición: $f_!([g])=[fg]$ . (Aquí $n$ puede ser positivo. Cuando $n$ es negativo y la cohomología es ordinaria, $[f]=0$ siempre que $[f]$ está definida, pero sigue teniendo sentido preguntarse si $[f]$ se define para un determinado $f$ .)

Ahora bien, ¿qué quiero decir con un representante ? Bien, una clase de cohomología ordinaria en $H^1(X)\simeq [X,S^1]$ , donde $X$ es un poliedro, puede ser representado (no sólo por una co-cadena, sino también) por un punto transversal-inverso $Z$ de un mapa PL $X\to S^1$ , visto como una incrustación $Z\to X$ . Dos representantes de este tipo son equivalentes si coinciden en un punto transversal-inverso de una homotopía PL $X\times I\to S^1$ visto como un mapa $W\to X\times I$ . (Aquí "transversal" significa simplemente que el punto se toma en el interior de un $1$ -simplex de una triangulación de $S^1$ lo que hace que el mapa sea simplicial). Resulta que esta descripción de la $1$ -cohomología se generaliza de forma elegante a dimensiones arbitrarias y teorías de cohomología arbitrarias, lo que se hizo en el libro B-R-S. Otras monografías basadas en esta visión geométrica de la cohomología son "Techniques of geometric topology" de Fenn y "Kreck's Topología algebraica diferencial y estos pueden funcionar como una lectura introductoria para el libro B-R-S (en caso de que lo encuentre escueto; otra opción es el libro de Rourke Conferencia de ICM ).

Aquí tienes algunos detalles. En el caso de la teoría del cobordismo de PL no orientado (se trata de la teoría más simple desde este punto de vista), los representantes de las clases de cobordismo son lo que B-R-S llama "haces de imitación"; yo prefiero llamarlos "comanifolds". Un $n$ -comanifold (donde $n$ es cualquier número entero, positivo o no) es un mapa PL de un poliedro en un complejo simplicial tal que la preimagen de cada $i$ -simplex es un PL $(i-n)$ -con límite, y además su límite es igual a la preimagen del límite del $i$ -simplemente. Si se piensa en la incrustación $1$ -comanifolds en un libro de tres páginas, por ejemplo, verás fácilmente que siempre que uno interseca la encuadernación, tiene que parecer localmente un tríode ortogonal a la encuadernación. De hecho, por una variante de la construcción Pontryagin-Thom, un co-orientado incrustado $1$ -comanifold en un poliedro $X$ es sólo un punto transversal-inverso de un mapa $X\to S^1$ . En general, las comaniformes coorientadas (no necesariamente incrustadas) representan Cobordismo PL orientado clases.

El pushforward $f_!$ en cohomología integral ordinaria se define para cada representante $f$ de una clase de cohomología ordinaria, es decir, para un comanífero coorientado con singularidades de codimensión dos. Obsérvese que estos son mucho más generales que los haces con una fibra de colector; en particular, todo mapa PL entre dos colectores PL (de codimensión positiva o negativa $n$ ) se incluye, tras una pequeña perturbación (esto se demuestra en B-R-S). Es cierto que estos mapas no incluyen todos los mapas cuyo homotopía la fibra es homotópicamente un colector, pero en la práctica a menudo pueden reducirse a haces con una fibra del colector. El pushforward $f_!$ en cohomotopía estable se define para $f$ un comanifold enmarcado. etc. Todo se generaliza directamente a las teorías equivariantes (incluyendo la representación graduada). Por desgracia, la descripción de los representantes es mucho más compleja en el caso de $K$ -teoría (compleja, digamos).

Answer 4

Como dijo Tilman, se puede utilizar una construcción Pontrjagin-Thom para definir mapas umkehr en todas las teorías de cohomología generalizada $E$ siempre que el haz normal estable sea $E$ -orientado.

Las condiciones suficientes para la existencia de las construcciones PT son:

1. $f:X \to Y$ es un mapa propio de variedades (posiblemente no compactas).

2. $f:X \to Y$ es un haz con fibra $M$ y el grupo de estructura $Diff(M)$ . $M$ tiene que ser un colector cerrado.

Se puede relajar considerablemente el supuesto de suavidad, y la herramienta adecuada en esta situación es la secuencia espectral de Leray-Serre. Supongamos que $f:X \to Y$ es una fibración y las fibras son homotópicamente equivalentes a las orientadas cerradas $n$ -manifolds. Supongamos además (por simplicidad) que el sistema local de coeficientes $H^n (X/Y)$ (con esto me refiero a la $n$ cohomología de las fibras) es constante y que las fibras están conectadas. Entonces se obtiene un mapa $$H^{n+k}(X) \to E_\infty^{k,n} \subset E^{k,n}_{2} = H^k(Y)$$ y este es su mapa de la vía equivocada.

La forma más elegante de mostrar que todas las diferentes construcciones coinciden en su dominio común de definición (haces lisos sobre variedades), podría ser mejor caracterizar los mapas erróneos mediante una breve lista de axiomas:

1. $f_! : H^{\ast}(X) \to H^{\ast}(Y)$ es un homomorfismo de $H^{\ast}(Y)$ -módulos
2. $f_! $ es natural con respecto a los pullbacks de los haces
3. $f_!$ está normalizado, es decir, si $Y$ es un punto, entonces $f_!$ es la evaluación contra la clase fundamental.

No es demasiado difícil demostrar que estos axiomas obligan a $f_!$ para que coincida con la definición de secuencia espectral.

Answer 5

He aquí otra interpretación del mapa del camino equivocado en cohomología.

Dejemos que $f:X\to Y$ sea un mapa continuo propio de espacios topológicos "agradables" (digamos, de la forma "un complejo CW finito menos un subcomplejo"). En primer lugar, recordemos que el mapa pullback habitual $H^\ast(Y,\mathbb{Z})\to H^\ast (X,\mathbb{Z})$ se puede construir de la siguiente manera: identificamos $H^i(Y,\mathbb{Z})$ con $Hom(\underline{\mathbb{Z}}_Y,\underline{\mathbb{Z}}_Y[i])$ . Aquí $\underline{\mathbb{Z}}_Y$ es la gavilla constante en $Y$ y $Hom$ se toma en la categoría derivada acotada. A continuación, aplicamos el functor de retroceso $f^{-1}$ y utilizar el hecho de que el pullback de la gavilla constante es constante.

Algo similar se puede hacer si buscamos un mapa en la dirección opuesta. Es decir, identifiquemos $H^i(X,\mathbb{Z})$ con $Hom(\underline{\mathbb{Z}}_X,\underline{\mathbb{Z}}_X[i])$ . Aplicando el functor de imagen directa (derivado) obtenemos un mapa de $H^i(X,\mathbb{Z})$ a $Hom(f_{\ast}\underline{\mathbb{Z}}_X,f_{\ast}\underline{\mathbb{Z}}_X[i])$ .

Además, existe un mapa canónico desde $\underline{\mathbb{Z}}_Y$ a $f_\ast f^{-1}\underline{\mathbb{Z}}_Y=f_\ast \underline{\mathbb{Z}}_X$ . Así que obtenemos un mapa de $H^i(X,\mathbb{Z})$ a $H^i(Y,f_\ast\underline{\mathbb{Z}}_X)$ y el problema es construir un mapa a partir de $f_\ast\underline{\mathbb{Z}}_X$ a $\underline{\mathbb{Z}}_Y$ o algún desplazamiento de la misma.

En algunos casos particulares, estos mapas existen efectivamente. Por ejemplo, si $X$ y $Y$ son variedades orientables suaves de dimensiones $n$ y $m$ , entonces podemos tomar el mapa $\underline{\mathbb{Z}}_Y\to f_\ast \underline{\mathbb{Z}}_X$ y dualizarlo. Obtenemos un mapa $Df_\ast \underline{\mathbb{Z}}_X\to D\underline{\mathbb{Z}}_Y=\underline{\mathbb{Z}}_Y[m]$ . Pero como asumimos $f$ propiamente dicho, tenemos $Df_\ast \underline{\mathbb{Z}}_X=f_\ast D\underline{\mathbb{Z}}_X=f_\ast \underline{\mathbb{Z}}_X[n]$ que da un mapa $f_\ast\underline{\mathbb{Z}}_X\to \underline{\mathbb{Z}}_Y[m-n]$ que da un mapa $H^i(X,\mathbb{Z})\to H^{i+m-n}(Y,\mathbb{Z})$ . Este es, por supuesto, el mapa "toma el dual de Poincar'e, empuja hacia adelante y toma el dual de Poincar'e de nuevo".

Otro caso es cuando $f$ es una fibración localmente trivial cuya fibra es una variedad compacta y suave de dimensión $k$ (o más generalmente, una inmersión topológica). Entonces, utilizando la adjunción $Hom (f_\ast\underline{\mathbb{Z}}_X,\underline{\mathbb{Z}}_Y)=Hom(\underline{\mathbb{Z}}_X,f^!\underline{\mathbb{Z}}_Y)$ y utilizando el hecho de que $f^!\underline{\mathbb{Z}}_Y=\underline{\mathbb{Z}}_X[k]$ vemos que hay un mapa $f_\ast\underline{\mathbb{Z}}_X\to \underline{\mathbb{Z}}_Y[-k]$ que da un mapa $H^i(X,\mathbb{Z})\to H^{i-k}(Y,\mathbb{Z})$ . Esta es la integración a lo largo del mapa de fibras.