Demuestra que un divisor multiplicado por un valor absoluto sigue siendo un divisor

Question

Tengo que demostrarlo:

Si $s \neq 0$ entonces $(sa,sb)=|s|·(a,b)$

Hice lo siguiente pero el instructor dijo que no es el mejor camino:

Dejemos que $d = (a, b)$ . Entonces, $dn = a$ y $dm = b$ . De ello se desprende que $sdn = sa$ y $sdm = sb$ . Pero no sé cómo llevar mi prueba a $|s|·(a,b)$ .

Espero que alguien pueda ayudar con esto, gracias.

Answer 1

Pongamos $$d \colon= (a, b).$$ Entonces (1) $d$ es un número entero positivo, (2) $d$ divide ambos $a$ y $b$ y (3) si $c$ es cualquier número entero que divide a ambos $a$ y $b$ entonces $c$ divide $d$ también.

Además, podemos encontrar enteros $x$ y $y$ tal que $$d = ax + by. \tag{1}$$ Por lo tanto, al multiplicar ambos lados por $s$ obtenemos $$sd = (sa)x + (sb)y. \tag{2}$$

Tenga en cuenta que como $d$ es un número entero positivo y como $s$ es un número entero no nulo, por lo que $|s|d$ también es un número entero positivo.

Ahora pongamos $$d^\prime \colon= (sa, sb).$$ Entonces $d^\prime$ es un número entero positivo tal que $d^\prime$ divide ambos $sa$ y $sb$ por lo que de (2) se deduce que $d^\prime$ divide $sd$ y por lo tanto también divide $|s|d$ .

Por el contrario, como $d$ divide ambos $a$ y $b$ y como $s$ es un número entero no nulo, por lo que $|s|d$ divide ambos $sa$ y $sb$ lo que implica que $|s|d$ divide $d^\prime$ .

De los dos párrafos anteriores, obtenemos $$d^\prime = \pm |s|d.$$ Pero como $d^\prime > 0$ y como $|s|d > 0$ , por lo que debemos tener $$d^\prime = |s|d,$$ que es lo mismo que $$(sa, sb) = |s|(a, b).$$

Espero que esto ayude.