Aumento de las existencias de forma multiplicativa, valor esperado y varianza

Question

Supongamos que una acción comienza con el precio $1$ . Cada día, si la acción comienza con $q$ , entonces con probabilidad $p$ aumenta a $qr$ y con probabilidad $1-p$ disminuye a $q/r$ . ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del precio de las acciones en $d$ ¿el día?

El valor esperado es por definición $\sum_i i\cdot Pr[X=i]=\sum_{i=0}^d\dbinom{d}{i}p^i(1-p)^{d-i}r^{2i-d}$ . ¿Hay alguna forma de simplificar esta suma? (Pregunta similar para la varianza, que se calcula con $E[X^2]-E[X]^2$ )

Answer 1

Para el valor esperado tengo la fórmula:

$q\cdot \sum_{i=0}^{d} {d \choose i} (r\cdot p)^i \cdot \left( \frac{1}{r}(1-p)\right)^{d-i}$

$\sum_{i=0}^{d} {d \choose i} (r\cdot p)^i \cdot \left( \frac{1}{r}(1-p)\right)^{d-i}$ puede simplificarse utilizando el teorema del binomio .

Para $r=1.25,d=2,p=0.7$ y $q=100$ el valor esperado es $124.3225$ .

Answer 2

Un enfoque mucho más fácil parece ser el uso de un método recursivo, combinado con la linealidad de la expectativa condicional. Sea X una variable aleatoria binaria que dicta si el precio de una acción en el día (d+1) es el resultado de un aumento o disminución del precio de una acción en el día (d). Entonces:

$$ \mathbb{E}[sp_d] = p(\mathbb{E}[sp_{d-1}|X = 0]) + (1-p)(\mathbb{E}[sp_{d-1}|X = 1) $$ Esto nos da:

$ \mathbb{E}[sp_d] = pr(\mathbb{E}[sp_{d-1}]) + \frac{1-p}{r}(\mathbb{E}[sp_{d-1}]) $

Observando que se trata de una fácil excursión de poder con $\mathbb{E}[sp_0] = 1$ nos dice que:

$ \mathbb{E}[sp_d] = (pr + \frac{1-p}{r})^d $

En su caso, $\mathbb{E}[sp_0] = q$ , que simplemente escala lo anterior como: $ \mathbb{E}[sp_d] = q(pr + \frac{1-p}{r})^d $

Parece mucho más elegante que elaborar una fea suma binomial, para luego aplicar la fórmula binomial para simplificar dicha suma.