Prueba de la descomposición del valor singular - ¿Por qué es necesario que U sea una base ortonormal?

Question

Así que en el libro de texto tienen el siguiente teorema:

Con la siguiente prueba:

Lo que no entiendo es por qué amplían ${\textbf{u}_1, ..., \textbf{u}_r}$ a una base ortonormal. De hecho, si sólo se define $$U = [\textbf{u}_1, ... , \textbf{u}_r, \textbf{0}, ..., \textbf{0}]$$

¿La respuesta debería ser la misma? Es decir. $U\Sigma = AV$

Answer 1

He decidido convertir mi breve comentario en una respuesta más elaborada. Si entiendo bien la pregunta, habría que responder realmente por qué es interesante que exista una ortogonal $U$ en lugar de un simple $U$ que satisface la igualdad $U \Sigma = AV$ .

En primer lugar, el $U$ sugerido en la pregunta es singular, como se señala en los comentarios. Esa elección de $U$ Por lo tanto, el teorema sería mucho más "unilateral" en el sentido de que no tendría $U^T A = \Sigma V^T$ . Cuando ambos $U$ y $V$ son invertibles, el teorema es más "simétrico" y más fácil de utilizar.

En segundo lugar, cuando ambos $U$ y $V$ son ortogonales, la descomposición del valor singular tiene una buena interpretación. Al encontrar dicha descomposición, podemos entender mejor el mapa $x \mapsto Ax$ . Desde $A$ no es necesariamente ni invertible, ni en absoluto cuadrado, puede ser difícil hacerse una idea de lo que supone multiplicar por $A$ hace. La descomposición del valor singular proporciona una respuesta. Como $A = U \Sigma V^T$ podemos mirar los mapas $V^T$ , $\Sigma$ y $U$ sucesivamente. Aquí es realmente útil que ambos $U$ y $V^T$ son ortogonales porque la multiplicación por matrices ortogonales se puede considerar como rotaciones. La multiplicación por $\Sigma$ puede considerarse como un escalamiento.

Para una respuesta aún más elaborada, consulte el artículo de Wikipedia sobre las SVD ( https://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition ), que explica bien esta interpretación y ofrece algunas figuras y animaciones ilustrativas.