$\sum_{m\in \mathbb{Z}} e^{-im^2 t} e^{i m z} =? $

Question

¿Puede alguien resumir esta serie?

$f(z, t) = \sum_{m\in \mathbb{Z}} e^{-im^2 t} e^{i m z} . $

En el sentido matemático, cada término de esta serie es de módulo 1, y la serie no es convergente. Pero, esta serie es de un problema físico, y el problema es hasta cierto punto cómo darle sentido. En realidad es el propagador de una partícula libre en un círculo.

Answer 1

La suma da una función Theta (DLMF, §20.2.3) $$ f(z,t) = \theta_3(iz/2, e^{-it}) = \theta_3(iz/2 \;|\; {-t/\pi}) . $$ Se define por continuación analítica a partir del rango (complejo) de parámetros donde la serie converge absolutamente.