Definición de $k^0$ en la prueba de Getzler del teorema del índice de Atiyah-Singer

Question

He leído Prueba de Getzler del teorema del índice de Atiyah-Singer . Por desgracia, no entiendo la definición más importante.

La definición

Para todos $(t,x)\in(0,\infty)\times\mathbf{R}^n$ Getzler hace la siguiente definición: \begin{equation}\tag{1} k^0_t(x)=(4\pi t)^{-n/2}\det\left(\frac{t\Omega/2}{\sinh{t\Omega/2}}\right)^{1/2}\exp\left[tF-\frac{1}{4t}\left(\frac{t\Omega/2}{\tanh{t\Omega/2}}\right)_{ij}x^ix^j\right] \end{equation}

Esto es lo que dice Getzler con respecto a la RHS:

El símbolo $\Omega$ denota la curvatura de Riemann en el punto $0$ que se piensa que es un antisimétrico $n\times n$ matriz de $2$ -formas y $F$ es la curvatura de la conexión en $0$ pensado como un hermitiano $m\times m$ matriz de $2$ -formas.

Por qué $(1)$ puede ser diferente de lo que usted piensa ...

Si $K$ es la curvatura de una derivada covariante (por ejemplo, la curvatura de Riemann), un marco local para el haz tangente en $U\subset M$ define una matriz ${K^i}_j\in\Omega^2(U)$ de $2$ -formas. Sin embargo, Getzler no se refiere a eso:

Dejemos que $\Delta$ sea el espacio vectorial de espinores y sea $\Lambda(n)\cong\mathrm{End}(\Delta)$ sea la complejización de $\Lambda^*\mathbf{R}^n$ . Como se menciona al principio de la demostración del teorema en la página $3$ , \begin{equation} k^0\colon(0,\infty)\to C^\infty(\mathbf{R}^n)\otimes\mathrm{End}(\Delta\otimes\mathbf{C}^m) \end{equation} es el núcleo de calor asociado a \begin{equation} D^0:=\sum_i\left(\partial_i+\frac{1}{4}\Omega_{ij}(0)x^j\right)^2+F(0). \end{equation}

Creo que Getzler se refiere a elementos de $\Lambda^2\mathbf{R}^n$ como $2$ -formas - por ejemplo, estoy bastante seguro de que el $F$ en $(1)$ se define en realidad por \begin{equation} F=\sum_{\mu<\nu}F_{\mu\nu}(0)e^\mu\wedge e^\nu\in\mathrm{End}(\mathbf{C}^m)\otimes \Lambda(n). \end{equation}

Pregunta

¿Cómo es la expresión \begin{equation} \det\left(\frac{t\Omega/2}{\sinh{t\Omega/2}}\right)^{1/2} \end{equation} en $(1)$ ¿se define? En caso de que esto ayude, también he encontrado dos pruebas recientes del teorema del índice local que se basan en el método de reescalado de Getzler y que contienen la expresión en el lado derecho de $(1)$ :

• Propuesta 25.10 en la página 114 de Notas de Walpuski .

• El lema 2.10 de la página 9 de El documento de Ponge .

Answer 1

Esta respuesta es una advertencia. Parece que la definición de $k^0$ El documento puede ser fácilmente malinterpretado si no se entiende toda la prueba:

Al juntar varias ecuaciones $^1$ se obtiene

\begin{equation}\tag{1} \lim_{t\to 0}k_t(0,0)=\mathrm{Str}\,\Big[(4\pi t)^{-n/2}\hat{A}(t\Omega)\wedge\exp(tF)\Big](0)=(2\pi i)^{-n/2}\Big[\hat{A}(\Omega)\wedge\mathrm{ch}(F)\Big]_n(0) \end{equation} Dado que la primera ecuación en $(1)$ contiene el límite $t\to 0$ probablemente se esperaría que la segunda ecuación en $(1)$ para mantener en el límite $t\to 0$ También. Y, dependiendo de cómo $F$ se interpreta, esto realmente funciona, al menos en el caso $\Omega=0$ : \begin{equation} \lim_{t\to 0}(4\pi t)^{-n/2}\cdot\mathrm{Str}\,\exp\left(t\sum_{k>l}F_{kl}(x)\gamma^k\gamma^l\right)=(2\pi i)^{-n/2}\mathrm{ch}_n(F)(x) \end{equation}

Sin embargo, creo que Getzler no incluyó el límite $t\to 0$ por una buena razón: $k_t^0(0)$ se evalúa en $t=1$ : Getzler's $k^0_t(x)$ parece corresponder a la $r^{x_0}(0,t,x)$ en Ensayo de Reutter y la ecuación \begin{equation} \lim_{t\to 0}\mathrm{Str}\,k_t(x_0,x_0)\,\mathrm{d}x=(2/i)^{n/2}\mathrm{tr}\,\Big[r^{x_0}(0,1,0)\Big]_n \end{equation} es uno de los principales resultados (Reutter escribe $p_t$ en lugar de $k_t$ para denotar el núcleo de calor de $D^2$ ). Además, esta ecuación sugiere que Getzler omitió la forma de volumen en $(1)$ .

Recomiendo la lectura del ensayo de Reutter (en particular, la sección $2.3.5$ sobre la escala de Getzler) a todos los que quieran entender el documento de Getzler en detalle.

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$^1$ En primer lugar, \begin{equation} \lim_{t\to 0}k_t(0,0)=\lim_{\epsilon\to 0}(2/i)^{n/2}\int k^\epsilon_t(0)=(2\pi i)^{-n/2}\Big[\hat{A}(\Omega)\wedge\mathrm{Tr}\,\exp(F)\Big]_n(0) \end{equation} (página $115$ ). En segundo lugar, \begin{equation} \mathrm{Str}\,a=(2/i)^{n/2}\int a \end{equation} para todos $a\in\Lambda(n)$ y \begin{equation} \lim_{\epsilon\to 0}k^\epsilon_t(0)=k^0_t(0)\in\Lambda(n)\otimes\mathrm{End}(\mathbf{C}^m). \end{equation}