Quiero señalar que existen, temáticamente, caminos diferentes al estándar más sugerido:
Como señaló "jmoy", el tiempo es limitado - los comentarios que te dicen que aprendas algo de física o programación primero o en el camino parecen ignorar esto un poco. Seguro que es bueno y valdrá la pena tener estas cosas como fondo, pero no es indispensable. Aparentemente ya has descubierto tu fascinación por las matemáticas, así que no tienes que respaldarla con estas cosas que rodean a las matemáticas. La física y la programación pueden darte una buena intuición, pero también lo puede hacer la propia matemática.
Además, ¡pasar por todo el plan de estudios estándar con mucho cálculo y geometría de coordenadas no es en absoluto la única manera de entrar en las matemáticas! Ciertamente, un conocimiento básico de estas cosas será indispensable en algún momento . Si realmente te gusta estudiar cálculo, hazlo, ¡es un excelente comienzo! Pero no lo hagas sólo porque es el plan de estudios estándar en las universidades estadounidenses. A menudo, la gente que ha pasado por esto no puede imaginarse haber aprendido las cosas de otra manera, pero eso es perfectamente posible, y normal en muchos países (yo pasé por un colegio y una universidad alemanes y aprendí mucho menos cálculo por el camino que un estudiante medio de EE.UU. - no me hizo ningún daño).
Al fin y al cabo, quieres estudiar matemáticas para tener una experiencia gratificante, y aunque habrá alguna frustración en el camino, debería sentirse algo gratificante desde el principio.
Así que aquí tienes tres rutas alternativas, por si despiertan más tu curiosidad:
Teoría de los números es un campo que parece perfecto para el autoaprendizaje: Se ocupa de objetos que ya se conocen muy bien -los números naturales- y, sin embargo, es un campo profundo y difícil y se conecta con prácticamente todas las demás partes de las matemáticas. Se trata de una matemática totalmente diferente a la que se puede ver siguiendo el camino del cálculo, y que puede llevarle igual de lejos. En particular, te llevará a un punto en el que querrás estudiar cálculo porque te dice cosas sobre la teoría de números. Para este camino, coge un libro de Teoría elemental de números (por ejemplo (1) (que puede descargarse gratuitamente, pero si le resulta demasiado difícil, también hay otros más básicos) y trabaje en ello. Acompáñalo con el libro "Fearless Symmetry". (2) un excelente libro de matemáticas populares, ¡y no es una pérdida de tiempo! Te lleva muy lejos en cosas que conectan con la investigación actual (el llamado "programa de Langlands") pero está escrito de forma muy amigable. Te da un camino a seguir; obtienes ideas intuitivas, por ejemplo, sobre la "teoría de grupos", y siempre que llegues a un punto en el que se introduzca un nuevo concepto (como el de "grupo"), debes acompañarlo de un tratamiento más formal, donde puedas ver los teoremas básicos sobre esa estructura y obtener algunos ejercicios para resolver. Sugiero el libro "Álgebra" de Michael Artin (3) que contiene todo lo que necesitarás saber durante mucho tiempo en este camino. Comienza en un nivel bajo, que o bien ya está bien para usted, o bien sólo necesitará una pequeña lectura intermedia para salvar la distancia. (Si empiezas a preguntarte cuándo entra el cálculo, coge el "Curso de Aritmética" de Serre (4) y salta a la parte II, pero sólo después de que tengas alguna sensación de lo que hay en la primera mitad del "Álgebra" de Artin)
Combinatoria (por ejemplo, con el libro "Pruebas que realmente cuentan" (5) ) - este es también un tema que no necesita de la motivación de la física o de cualquier otra área sobre la que habría que aprender cosas primero. Al igual que en la teoría de números, puedes ver cómo se desarrolla el razonamiento matemático para responder a preguntas que tienen sentido inmediatamente. Y de nuevo puede llevarte al punto de querer estudiar otras matemáticas, por ejemplo el cálculo, porque tiene sentido seguir esas preguntas en el contexto de lo que ya sabes...
Lógica Por ejemplo, a partir de Carnielli, Epstein: "Computabilidad" (6) - se trata de una introducción básica a la lógica y a la teoría de la computación, escrita para filósofos y, por tanto, con un comienzo muy suave. También allana el camino hacia las matemáticas a través de una pregunta motivadora -¿Cuándo debemos llamar a algo "computable"? - y nos lleva hasta la demostración de los famosos teoremas de indecidibilidad de Gödel. De nuevo, esto está relacionado con muchas matemáticas. Tal vez después de esto te gustaría seguir estudiando la lógica no clásica, lo que te llevará al álgebra, la teoría de retículos y la topología...
Sea cual sea el camino que elijas (y tengo que volver a insistir en que el camino del cálculo es muy bueno también, si te apetece), habla con la gente sobre las cosas que estudias, pregunta y responde a las preguntas, por ejemplo, trabaja como tutor, ¡o pasa tiempo aquí en el foro!
¡Disfruta de tu viaje a las matemáticas!
