elemento positivo en el producto tensorial C*

Question

Sean A, B dos álgebras C* y $A\otimes B$ denotan su producto tensorial mínimo (no sé si la norma C* importa o no, pero para simplificar podemos suponer que uno de ellos es nuclear por lo que todas las normas C* coinciden). Sea x un elemento positivo no nulo en $A\otimes B$ ¿podemos encontrar siempre un único tensor $0\neq x_1\otimes x_2$ , donde $x_1$ y $x_2$ son elementos positivos en A y B respectivamente, tales que $x_1\otimes x_2\leq x$ ?

Es bastante fácil ver que si ambas C*-álgebras son comunicativas o una de ellas es una C*-álgebra de dimensión finita (Lo siento, esto es falso), entonces la afirmación anterior es verdadera. Así que es tentador pensar que el caso más general debe sostenerse.

Antes hice una pregunta similar, donde la afirmación más fuerte de que cualquier elemento positivo en el álgebra tensorial es una suma de tensores de elementos positivos, es falsa. Ver el siguiente enlace:

texto del enlace

Answer 1

La misma respuesta que antes, la matriz $$ a=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ en $M_2(\mathbb{C})\otimes M_2(\mathbb{C})$ también funciona aquí, ya que es una proyección de rango dos veces uno y, por lo tanto, cualquier matriz positiva más pequeña debe ser un múltiplo escalar de $a$ .

Answer 2

Hay un resultado de Kirchberg que se acerca a dar una respuesta positiva a esta pregunta. Dado $x\geq 0$ como en la pregunta, existe $z\neq 0$ tal que $z^*z=x_1\otimes x_2$ y $zz^* \leq x$ . Véase el lema 4.1.9 del libro de Rordam "Classification of nuclear C*-algebras".