Derivación de las ecuaciones de Maxwell a partir del tensor de campo lagrangiano

Question

He empezado a leer a Peskin y Schroeder en mi tiempo libre, y estoy un poco confundido sobre cómo obtener las ecuaciones de Maxwell a partir de la densidad lagrangiana (libre de fuentes) $L = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ (donde $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ es el tensor de campo).

Sustituyendo la definición del tensor de campo se obtiene $L = -\frac{1}{2}[(\partial_\mu A_\nu)(\partial^\mu A^\nu) - (\partial_\mu A_\nu)(\partial^\nu A^\mu)]$ . Sé que debería usar $A^\mu$ como variable dinámica en las ecuaciones de Euler-Lagrange, que se convierten en $\frac{\partial L}{\partial A_\mu} - \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = - \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}$ pero estoy confundido sobre cómo proceder a partir de aquí.

Sé que debería terminar con $\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$ pero no veo por qué. Desde $\mu$ y $\nu$ son índices ficticios, debería poder cambiarlos: ¿cómo se relacionan los índices de la lagrangiana con los índices de las derivadas en las ecuaciones de Euler-Lagrange?

Answer 1

Variamos la acción $$\delta \int {L\;\mathrm{d}t} = \delta \int {\int {\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} } $$ ${\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)}$ es la densidad del lagrangiano del sistema.

Así que, $$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }}\delta A_\nu + \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\delta \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)} \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} } $$ Integrando por partes obtenemos: $$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)\delta A_\nu \mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} } \implies \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} = 0$$ Tenemos que determinar la densidad del lagrangiano. Uno de los términos se refiere a la interacción de las cargas con el campo electromagnético, $J^\mu A_\mu$ . El otro término es la densidad de energía del campo electromagnético: este término es la diferencia del campo magnético y el campo eléctrico. Así que tenemos: $$\Lambda = J^\mu A_\mu + \frac{1}{{4\mu _0 }}F^{\mu \nu } F_{\mu \nu } $$ Lo tenemos: $$\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} = J^\nu $$ Así que..: \begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} &= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}F^{\kappa \lambda } F_{\kappa \lambda } } \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\left( {\partial ^\kappa A^\lambda - \partial ^\lambda A^\kappa } \right)\left( {\partial _\kappa A_\lambda - \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)} \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa - \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\kappa A_\lambda + \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\end{align} El tercero y el cuarto son los mismos del primero y del segundo término. Se puede hacer $k \leftrightarrow \lambda $ : \begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} & = \frac{1}{{2\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\;.\end{align} Pero \begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda } \right) &= \partial ^\kappa A^\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\kappa A_\lambda } \right) + \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda } \right) \\ &= \partial ^\kappa A^\lambda \delta _\kappa ^\mu \delta _\lambda ^\nu + g^{\kappa \alpha } g^{\lambda \beta } \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\alpha A_\beta } \right)\\& = 2\partial ^\mu A^\nu \;.\end{align}

Lo tenemos:

\begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right) &= 2\partial ^\nu A^\mu \;. \end{align}

Así que,

\begin{align}\partial _\mu \left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)& = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\partial ^\mu A^\nu - \partial ^\nu A^\mu } \right)\\ & = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu F^{\mu \nu } \;.\end{align} Las ecuaciones lagrangianas proporcionan las ecuaciones maxwell no homogéneas:

$$\partial _\mu F^{\mu \nu } = \mu _0 J^\nu \;. $$

Answer 2

Bueno, ya casi lo tienes. Utilice el hecho de que $$ {\partial (\partial_{\mu} A_{\nu}) \over \partial(\partial_{\rho} A_{\sigma})} = \delta_{\mu}^{\rho} \delta_{\nu}^{\sigma}$$ que es válido porque $\partial_{\mu} A_{\nu}$ son $d^2$ componentes independientes.

Answer 3

Estimado amc, primero, escribe tu densidad lagrangiana como $$ L = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu) F^{\mu\nu} $$ ¿Está bien hasta ahora? El $F_{\mu\nu}$ contiene dos términos que lo hacen antisimétrico en los dos índices. Sin embargo, se multiplica por otro $F^{\mu\nu}$ que ya es antisimétrica, por lo que no necesito antisimétrica de nuevo. En cambio, ambos términos me dan lo mismo, por lo que el coeficiente $-1/4$ simplemente cambia a $-1/2$ .

Ahora, las ecuaciones de campo te obligan a calcular las derivadas de la lagrangiana con respecto a $A_\mu$ y sus derivados. En primer lugar, la derivada del Lagrangiano $L$ con respecto a $A_\mu$ desaparece porque la lagrangiana sólo depende de las derivadas parciales de $A_\mu$ . ¿Está claro hasta ahora?

Así que las ecuaciones de movimiento serán $$0 = -\partial_\mu [\partial L / \partial(\partial_\mu A_\nu)] = \dots $$ Ups, ya has llegado a este punto. Pero ahora, mira mi forma del Lagrangiano de arriba. La derivada del Lagrangiano con respecto a $\partial_\mu A_\nu$ es simplemente $$-\frac{1}{2} F^{\mu\nu}$$ porque $\partial_\mu A_\nu$ simplemente aparece como un factor por lo que las ecuaciones de movimiento serán simplemente $$ 0 = +\frac{1}{2} \partial_\mu F^{\mu\nu} $$ Sin embargo, he cometido deliberadamente un error. Sólo he diferenciado el Lagrangiano con respecto a $\partial_\mu A_\nu$ incluido en el primer factor de $F_{\mu\nu}$ con los índices más bajos. Sin embargo, $\partial_\mu A_\nu$ Los componentes también aparecen en $F^{\mu\nu}$ , el segundo factor en el Lagrangiano, uno con los índices superiores. Si se añaden los términos correspondientes de la regla de Leibniz, el resultado es simplemente que la contribución total se duplicará. Así que la ecuación de movimiento correcta, incluyendo el coeficiente natural, será $$ 0 = \partial_\mu F^{\mu\nu} $$ La normalización global es importante porque esta ecuación puede tener términos extra, como la corriente, cuyo coeficiente es obvio, y no se quiere obtener un error relativo de dos entre la derivada de $F$ y el actual $j$ .

Saludos Lubos

Answer 4

Aunque tarde en la fiesta, pongo una respuesta a nivel elemental. Tal vez esto demuestra el poder del cálculo tensorial utilizado en todas las respuestas anteriores.

Resumen

En esta respuesta trataremos de derivar las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío \begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align} de las ecuaciones de Euler-Lagrange \begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\eta}_{\jmath}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \:} \tag{002} \end{equation} donde \begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\eta_{\jmath}, \dot{\eta}_{\jmath}, \boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right) \qquad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{003} \end{equation} es la densidad lagrangiana de la pregunta (excepto un factor constante) \begin{equation} \boxed{\: \mathcal{L}=\dfrac{\Vert\mathbf{E}\Vert^{2}-c^{2}\Vert\mathbf{B}\Vert^{2}}{2}+\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) \:} \tag{004} \end{equation} y $\:\eta_{\jmath}\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right), \:\:\jmath=1,2,3,4\:$ los componentes $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$ del vector 4 del potencial EM, respectivamente. En cierto sentido, esta derivación se construye sobre la inversa ( : esta de encontrar una densidad lagrangiana propia a partir de las ecuaciones de Maxwell) moviéndose hacia atrás, ver mi respuesta aquí : Derivación de la densidad lagrangiana para el campo electromagnético

1. Sección principal

Primero expresamos $\:\mathbf{E},\mathbf{B}\:$ de (004) en términos de los componentes potenciales de 4 vectores $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$ \begin{align} \mathbf{B} & = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \tag{005a}\\ \mathbf{E} & = -\boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\boldsymbol{\nabla}\phi - \mathbf{\dot{A}} \tag{005b} \end{align} A partir de (005) las ecuaciones de Maxwell (001a) y (001d) son válidas automáticamente. Así que las cuatro(4) ecuaciones escalares de Maxwell (001b) y (001c) deben derivarse de las cuatro(4) ecuaciones escalares de Euler-Lagrange (002). Además, es razonable suponer que la ecuación vectorial (001b) debe derivarse de (002) con respecto a las componentes del potencial vectorial $\:\mathbf{A}=\left(A_{1},\:A_{2},\:A_{3}\right)\:$ mientras que la ecuación escalar (001c) debe derivarse de (002) con respecto al potencial escalar $\:\phi\:$ .

A partir de las ecuaciones (005) expresamos la densidad lagrangiana (004) en términos de las componentes del vector 4 potencial $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$ : \begin{align} \left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2} & = \left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2} = \left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+2\left(\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \tag{006a}\\ & \nonumber\\ \left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2} & = \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{006b} \end{align} La segunda ecuación de (006b), que es la identidad \begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation} se demuestra en 2. Sección de Identidades . Insertando las expresiones (006) en (004) la densidad lagrangiana es \begin{equation} \mathcal{L}=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}_{\tfrac{1}{2}\left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2}}-\tfrac{1}{2}c^{2}\underbrace{\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right]}_{\left\Vert \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \tag{007} \end{equation}

Reordenamos los elementos de (007) de la siguiente manera :

\begin{align} \mathcal{L} & = \overbrace{\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}^{\mathcal{L}_{\phi}=\text{with respect to }\phi}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{008a}\\ \mathcal{L} & = \tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}}_{\mathcal{L}_{\mathbf{A}}=\text{with respect to }\mathbf{A}} \tag{008b} \end{align}

El $\:\mathcal{L}_{\phi}\:$ parte de la densidad contiene todos los $\:\phi$ -y razonablemente participarán solos en la derivación de la ecuación de Maxwell (001c) a partir de la ecuación de Euler-Lagrange (002) con respecto a $\:\eta_{4}=\phi\:$ . El $\:\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$ parte de la densidad contiene todos los $\: \mathbf{A}$ -y razonablemente participarán solos en la derivación de la ecuación de Maxwell (001b) a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (002) con respecto a $\:\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}=A_{1},A_{1},A_{3}\:$ . Obsérvese el término común $\:\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\:$ de las partes $\:\mathcal{L}_{\phi},\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$ .

La ecuación de Euler-Lagrange con respecto a $\:\eta_{4}=\phi\:$ es : \begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right)}^{0} +\nabla \boldsymbol{\cdot}\overbrace{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}\right]}^{\boldsymbol{\nabla}\phi+\mathbf{\dot{A}}}-\overbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}}^{-\frac{\rho }{\epsilon_{0}}}=0 \tag{009} \end{equation} o \begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\underbrace{\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)}_{\mathbf{E}}= \frac{\rho }{\epsilon_{0}} \tag{010} \end{equation} que es la ecuación de Maxwell (001c) \begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c} \end{equation}

Para derivar la ecuación de Maxwell (001b) la expresamos con la ayuda de las ecuaciones (005) en términos de las componentes del potencial de 4 vectores $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$ : \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) \tag{011} \end{equation} Utilizando la identidad \begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{012} \end{equation} La ec.(011) da como resultado \begin{equation} \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) =\mu_{0}\mathbf{j} \tag{013} \end{equation} El $\:k$ -de la ec.(013) se expresa adecuadamente para que parezca una ecuación de Euler-Lagrange como sigue : \begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left[c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\right] -\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}}=0 \tag{014} \end{equation} Basta con llegar a la ecuación anterior (014) a partir de la ecuación de Euler-Lagrange (002) con respecto a $\:\eta_{k}=A_{k},\:\: k=1,2,3\:$ :

\begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}_{k}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=0 \tag{015} \end{equation}

Ahora \begin{equation} \dfrac{\partial\mathcal{L} }{\partial \dot{A}_{k}}=\dfrac{\partial }{\partial \dot{A}_{k}}\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}\right)=\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t} \tag{016a} \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=\frac{\partial }{\partial A_{k}}\left(\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}\right)=\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}} \tag{016b} \end{equation} y \begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial\left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\left(\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right)=c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right) \tag{016c} \end{equation} La última ecuación de (016c) es válida debido a la identidad (Id-02) demostrada en 2. Sección de Identidades : \begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation} Utilizando las expresiones de las ecuaciones (016) la ecuación de Euler-Lagrange (015) da (014) y así la ecuación de Maxwell (001b).

2. Sección de Identidades

Si $\: \mathbf{A}= \left( \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \mathrm{A}_{3}\right) \:$ es una función vectorial de las coordenadas cartesianas $\:\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)\:$ entonces \begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation} y
\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation} donde la derivada funcional del lado izquierdo se define como \begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\equiv \left[\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{1}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{2}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{3}}\right)} \right] \tag{Id-03} \end{equation} Prueba de la ecuación (Id-01) : \begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] +\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] -\left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]\\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &&-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}} \right)-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{2}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{3}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\\ %---------------------------------------- &=&\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \end{eqnarray*} Prueba de la ecuación (Id-02) : A partir de la ecuación \begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right] \end{eqnarray*} tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}\right)} &=& 0 =2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}} \right)\\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{2}}{\partial x_{1}} \right) \\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{3}}{\partial x_{1}} \right) \end{eqnarray*} Así que \begin{equation*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\right)}= 2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\right) \end{equation*} demostrando la ecuación (Id-02) para $\:k=1\:$ y de forma similar para los otros dos componentes $\:k=2,3$ .

Answer 5

Un método consiste en variar la acción de Maxwell (fijar $J^\mu = 0$ si lo desea, para el caso sin fuente) $$ S = \int d^4 x {\mathcal{L}} = - \int d^4 x \left(\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + J^\mu A_\mu\right). $$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$ \begin{align} \delta \left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) &= 2 F^{\mu \nu} \delta F_{\mu \nu} \\ &= 2 F^{\mu \nu} \left(\partial_\mu \delta A_\nu - \partial_\nu \delta A_\mu\right) \\ &= 4 F^{\mu \nu} \partial_\mu \delta A_\nu \\ &= 4\left[\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right) - \partial_\mu F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right], \end{align} $$ donde hemos utilizado el hecho de que $F$ es antisimétrico.

Obsérvese también que el $\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right)$ desaparecerá al convertirla en una integral de superficie, utilizando el argumento estándar de que $\delta A_\mu$ desaparece en el límite de integración.

Utilizando lo anterior, la variación de la acción es $$ \delta S = - \int d^4x \ \delta A_\nu \left(-\partial_\mu F^{\mu \nu} + J^\nu \right), $$ que, desde $\delta A_\nu$ es arbitraria, produce el resultado deseado $$ \partial_\mu F^{\mu \nu} = J^\nu. $$