¿Son los conjuntos invariantes de todos los sistemas de funciones iteradas necesariamente fractales?

Question

Un sistema de funciones iteradas se define como un conjunto finito de mapeos de contracción, definidos sobre un espacio métrico completo $X$ y la iteración se define como la composición secuencial de estos mapeos de contracción, donde cada mapeo tiene alguna probabilidad no nula de ser utilizado en cada iteración. Hutchinson (1981) demostró que tales sistemas de funciones iteradas (IFS) tienen conjuntos invariantes a los que la iteración converge, llamando a este conjunto $S \subset X$ , de modo que para $n$ diferentes mapeos de contracción que definen nuestro IFS, tenemos $$S = \bigcup_{i=1}^n f_i(S)$$ Me pregunto si tales conjuntos invariantes $S$ son necesariamente fractales si son generados por un IFS. Es bien sabido que muchos fractales pueden ser generados por un IFS, pero no está claro si los IFS generan necesariamente conjuntos fractales invariantes.

Answer 1

Depende ligeramente de tu definición de fractal, pero normalmente no es cierto que los IFS siempre generen fractales. Dejemos que $X = [0,1]$ y considerar $f_1$ y $f_2$ definido en $X$ por $f_1(x) = \frac{x}{2}$ y $f_2(x) = \frac{1+x}{2}$ . Ambas son contracciones con un factor de contracción de $\frac{1}{2}$ . Es fácil comprobar que $$[0,1] = f_1([0,1]) \cup f_2([0,1]),$$ por lo que el conjunto invariante es $X$ sí mismo.

También está el ejemplo tonto donde el IFS consiste en una sola contracción, entonces el atractor es sólo un punto.