Función analítica en el semiplano superior que converge a lo largo de dos rayos.

Question

Dejemos que $H=\{z\in \mathbb{C}:\Im(z)>0\}$ sea el medio plano superior abierto, y $\hat H=\bar H-\{0\}$ sea el cierre de $H$ menos el punto $0$ . Sea $f$ sea una función holomorfa en $H$ y acotada y continua en $\hat H$ . Demuestre que, si $\lim_{t\rightarrow 0} f(t)=0$ de verdad $t$ entonces $\lim_{z\rightarrow 0}f(z)=0$ .

Para este problema, he encontrado dos resultados relacionados pero no una solución completa.

En primer lugar, supongamos que $f$ es, en cambio, holomorfa y acotada en una vecindad abierta de $\hat H$ que no contiene $0$ . Sea $\{z_k\}$ sea una secuencia que converge a cero. Consideremos la secuencia de funciones, $\{f_k\}$ definido por $f_k(z)=f(|z_k|z)$ . Esta secuencia de funciones es una familia normal, por lo que existe una subsecuencia que converge uniformemente en conjuntos compactos a una función holomorfa $g$ . Para cualquier $x\in\mathbb{R}$ tenemos $g(x)=\lim_{k\rightarrow\infty} f(|z_k|x)=0$ . Así que, $g(z)=0$ para todos $z$ . Por lo tanto, ya que $f_{n_k}$ convergen uniformemente a $0$ en el semicírculo superior, tenemos que $f(z_{n_k})\rightarrow 0$ . Así que $f(z_k)\rightarrow 0$ .

El segundo resultado, es el siguiente: Si $0<\theta_1<\theta_2<\pi$ y $\{z_k\}$ es una secuencia que converge a cero, tal que $\theta_1<\arg z_k<\theta_2$ para todos $k$ entonces $f(z_k)\rightarrow 0$ . Lo hice estimando $|f(z)|$ en un barrio de $0$ utilizando la fórmula integral de Cauchy.

Answer 1

Su segundo resultado está en el camino correcto. La suposición no tangencial puede eliminarse considerando un semicírculo con centro en $\operatorname{Re}z_k$ .

Esta es una manera. Deja que $M$ sea el máximo de $|f|$ en el semidisco de la unidad. Dado $\epsilon>0$ , encontrar $\delta$ tal que $|f|<\epsilon$ en el segmento de línea $[-\delta,\delta]$ . Arreglar $z$ con $|z|<\epsilon\delta $ . Sea $\Omega$ sea el semicírculo de radio $\delta/2$ centrado en $\operatorname{Re}z$ .

De alguna manera no veo cómo utilizar la estimación de Cauchy aquí, así que voy a ir con el principio máximo. Sea $w$ sea el punto con $\operatorname{Re}w=\operatorname{Re}z$ y $\operatorname{Im}w = - \delta \epsilon/M $ . Elige un pequeño $\eta>0$ . La función $$g(\zeta)=\frac{z^\eta f(\zeta)}{ \zeta-w}$$ es holomorfo en $\Omega$ y delimitado por $2M/\delta$ en $\partial \Omega$ . El factor $z^\eta$ se asegura de que tiende a $0$ en $0$ . Por lo tanto, $|g(z)|\le 2M/\delta$ . Como esto es independiente de $\eta$ podemos enviar $\eta\to 0$ y obtener
$$|f(z)|\le 2M|z-w|/\delta<3M\epsilon $$ o algo por el estilo.