La construcción de una familia de distintas curvas con la misma área y el perímetro

Question

Dos recientes preguntas fueron planteadas por Arjuba [1] [2] pidiendo ejemplos de lo contrario respecto a si las dos figuras diferentes, podría tener el mismo perímetro y el área. Los socorristas subí rápidamente un número de tales ejemplos.

Sin embargo, todos tenían la forma de los polígonos en lugar de curvas suaves. Esto no plantea ningún evidente conceptual obstáculo, ya que sin duda, uno puede construir un contra-ejemplo por una limitación de proceso. Pero lo que yo estaría interesado en ver una construcción de un continuo de la familia de curvas suaves, todos con la misma área y el perímetro. (Una familia de curvas algebraicas sería mi preferencia). Hay ejemplos bien conocidos de tales?

EDITAR) Para aclarar que mi intención: Lo que realmente quiero es un continuo de la familia de curvas, ya sea con parámetros de forma explícita o dada implícitamente como una curva algebraica, la cual tiene la propiedad deseada.

EDICIÓN 2) le he pedido a otra pregunta que sugiere/ solicitudes de consulta sobre un posible variacional estrategia para encontrar ejemplos con más suavidad.

Answer 1

Todavía no explícitamente paramaterised curvas, pero alguien puede paramaterise para mí:

Answer 2

(El siguiente ejemplo, evita a trozos definiciones; pero no hay nada "especial" sobre ella.)

Considere la curva $\gamma$ con representación polar $$r=r_0(\phi):=2+\cos(3\phi)\ ,$$ que se parece a una hoja de trébol, consulte la siguiente figura. Esta curva tiene una longitud de $L_0$ e incluye un área de $A_0$.

Ahora podemos configurar una perturbación de la $\gamma$ en forma $$r=r(\phi):=r_0(\phi)+ a + b\cos(3\phi)+c\cos\phi$$ con pequeñas parámetros $a$, $b$, $c$. Definir $$L(a,b,c):=\int_0^{2\pi}\sqrt{r^2(\phi)+r'^2(\phi)}\ d\phi, \qquad A(a,b,c):={1\over2}\int_0^{2\pi}r^2(\phi)\>d\phi\ .$$ Las cantidades $$a_{11}:={\partial L\over\partial a}\biggr|_{(0,0,0)},\quad a_{12}:={\partial L\over\partial b}\biggr|_{(0,0,0)},\quad a_{21}:={\partial A\over\partial a}\biggr|_{(0,0,0)},\quad a_{22}:={\partial A\over\partial b}\biggr|_{(0,0,0)}$$ se obtiene por diferenciación bajo el signo integral y poner $(a,b,c)=(0,0,0)$. Integración numérica, a continuación, da $$a_{11}=4.4197,\quad a_{12}=9.3105\ ,$$ mientras que los otros dos pueden ser calculadas de forma explícita: $$a_{21}=4\pi,\quad a_{22}=\pi\ .$$ En cualquier caso, uno ha $\det[a_{ik}]\ne0$. De esto podemos extraer la siguiente conclusión:

El sistema de ecuaciones $$L(a,b,c)=L_0, \quad A(a,b,c)=A_0$$ tiene la solución $(0,0,0)$. Por lo tanto, se puede resolver para $a$$b$, en el barrio de $(0,0,0)$, lo que significa que hay dos $C^1$-funciones $c\mapsto \alpha(c)$, $c\mapsto\beta(c)$ con $\alpha(0)=\beta(0)=0$, de tal manera que $$L\bigl(\alpha(c),\beta(c),c\bigr)=L_0,\quad A\bigl(\alpha(c),\beta(c),c\bigr)=A_0$$ para todos los $c$ en un barrio de $0$.

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EDICIÓN de Cadena. Esta es una gran respuesta, así que decidió que debía tener una animación de su propio:

Me aproxima $a$ $b$ por recorrer linealmente resolver el sistema de ecuaciones definido por el Jacobiano. Tres lineal de pasos que se tomaron para cada una de las $c\in[-0.7,0.7]$ (por pasos de $0.01$). Para $c$'s de valor numérico mayor a $1$ parece que el sistema todavía es solucionable, pero la pertubation comienza a cortarse a sí misma a través de los bucles así que no tiene ninguna relevancia para el problema en cuestión.

@Christian Blatter: espero que no te importa esta edición - de lo contrario, sólo puede eliminar de nuevo!

Answer 3

Aunque aún no es satisfactorio el OP del deseo por la suavidad de grado superior, la siguiente construcción resultó ser más simple que el de mi análisis inicial había predicho:

Todas las curvas en esta familia tienen un perímetro de $L=10$ y un área de $A=4$. El $\color{blue}{\text{blue arc}}$ radio $r$ variyng como una función de la $t$. El parámetro $t$ no es lo realmente importante aquí - sólo reparametrizes $r$ para hacer la animación más bonito. El $\color{red}{\text{red arc}}$ radio $r+d$, de modo que $d$ es el ancho de la sección entre el $\color{blue}{\text{blue arc}}$ e las $\color{red}{\text{red arc}}$. Los dos negros de la mitad de los círculos ambos tienen $d$ diámetro. El ángulo de $\theta$ denota el ángulo común de la $\color{blue}{\text{blue arc}}$ $\color{red}{\text{red arc}}$ medido en radianes.

En mi análisis inicial, he arreglado algunos $r$ y trató de establecer ecuaciones que involucran $d$ $\theta$ como variables con el fin de coincidir $L$$A$. Rápidamente me di cuenta de que $$ \begin{align} 2\theta(d^2+2rd)+\pi d^2&=4A&&&(1)\\ \text{and}\\ \pi d+\theta(2r+d)&=L&&&(2) \end{align} $$ y la resolución de $(2)$$\theta$, sustituyendo en $(1)$, y reorganizar un poco, a continuación, los rendimientos $$ (2 r+d)(\pi d^2-2L\cdot d+4K)=0 $$ de donde resulta (btw. aplicar el producto cero de la regla) que sólo la solución $$ d=\frac{L-\sqrt{L^2-4 \pi K}}{\pi} $$ tiene tanto $d$ $\theta$ positivo. Sorprendentemente (me parece), la anchura $d$ NO depende de $r$ más en esta solución. Así que en efecto sólo $\theta$ varía con $r$. Aunque esta construcción NO es una familia de $C^2$ curvas (o superior), pero sólo $C^1$, todavía tiene la ventaja de ver muy bien en la forma en que se dobla y se transforma, en mi opinión.

BTW. He escogido $r\in[1/3,2]$ en la animación de arriba definiendo $r=\dfrac{0.4}{1.2-s}$ $s=\dfrac{1 + \sin\left(\pi (t-0.5)\right)}{2}$ y dejando $t$ a través del intervalo de $[0,1]$. La función del seno fue hacer el cambio lento hacia abajo cerca de los valores extremos de $t$ al hacer la flexión de cambio de velocidad más suavemente.

Answer 4

Círculo con dos golpes

Deje $f$ ser su estándar de rugosidad de la función $$ f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{1-x^2}}, &|x| < 1\\ 0, &\text{otherwise} \end{casos} $$ Deje $g(x) = f(5x)$ (esto hace que su golpe más estrecho).

Para $b \in [0, 1]$ (pero no demasiado cerca de 0), considere la curva: $$ r(t) = 1 + g(t-\frac{\pi}{2}) + g(t-\frac{\pi}{2} - b\pi) \quad \text{para } t \[0, 2\pi] $$

Todas estas curvas tienen la misma área y perímetro y también suave (aunque técnicamente son tramos definidos).

Nota: no estoy tratando de para la recompensa, estoy teniendo problemas para poner el problema.

Answer 5

Tome su favorito de la familia de lisa Jordan curvas parametrizadas por $\lambda>1$ dicen que, por ejemplo,$x^\lambda+y^\lambda=1$. Todas estas obligado área de entre 2 y 4. La escala a la unidad de área por un factor adecuado dependiendo $\lambda$. La resultante de las curvas no tienen el mismo perímetro, pero observe que cada perímetro es menor que 8, por ejemplo. Ahora aplicar transformaciones afines de la forma $\pmatrix{\mu & 0\\0 &\mu^{-1}}$. Como $\mu$ tiende a infinito el perímetro también, así que por el teorema del valor intermedio hay un $\mu=\mu(\lambda)$ haciendo que todos los perímetros iguales a 8, dando lugar a la familia deseada.

Uno no puede hacer esto con las secciones cónicas, porque no hay espacio suficiente, pero cúbicos curvas son suficientes; iniciar, por ejemplo, con pequeñas perturbaciones del círculo: $x^2+y^2+\epsilon x^3=1$ pequeña $\epsilon$. Estos son algebraicas y por lo tanto analítica.

Para hacer los ejemplos más explícitos, que uno necesita para superar el problema de la computación de arclength que normalmente conduce a inmanejable integrales. Tal vez esto es más manejable en coordenadas polares donde se puede empezar con $r^2+\epsilon \sin\theta=1$ y esperar lo mejor.