¿Qué clase de funciones tienen tercer momento cero?

Question

Busco una clase de funciones P(x) que tengan todas la siguiente propiedad:

$\int_0^{\infty}P(x)x^3dx=0 $

que luego quiero utilizar como base de expansión para una función f(x). Un ejemplo sería:

$P(x)=(4x^4-x^6)exp(-x^2)$

y espero que la función f(x) se acerque bastante a este ejemplo, así que quizá eso ayude a motivar una elección.

Answer 1

Siempre se puede utilizar el proceso de Gram-Schmidt sobre cualquier secuencia infinita de funciones linealmente independientes que incluya $x^3$ para obtener la base que buscas, con el añadido de la ortonormalidad de todos los miembros con respecto a esa integral y no sólo con respecto a $x^3$ .

Pruébalo, por ejemplo, con una base monomial ${1, x, x^2....}$ . Espero que esto ayude.