Sin utilizar las derivadas, demuestre que la función $(1+x^p)^{1/p}$ es convexo para $p\geq 1$

Question

Sin utilizar las derivadas, demuestre que la función $(1+x^p)^{1/p}$ es convexo para $p\geq 1.$

Intento. El resultado es evidente para $p=1$ ya que la función $x+1$ es afín. Para $p>1$ , funciones $1,~x^p$ son ambos convexos y $x\mapsto \sqrt[p]{x}$ es creciente pero no convexo (de hecho es cóncavo), para poder utilizar el teorema de la composición:

$$(convex ~\&~ increasing)\circ convex=convex.$$

En cuanto a la definición, debido a que la función es continua, es suficiente demostrar la convexidad del punto medio. Tenemos que demostrar que para todo $x,~y:$

$$\left(1+\left(\frac{x+y}{2}\right)^p\right)^{1/p}\leqslant\frac{(1+x^p)^{1/p}+(1+y^p)^{1/p}}{2}$$

que después de algunos cálculos básicos conduce a:

$$2^p+2^{p-1}(x+y)^p\leqslant \big((1+x^p)^{1/p}+(1+y^p)^{1/p}\big)^p.$$

¿Cómo se puede proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

Demostremos la convexidad del punto medio, que es equivalente a la convexidad para los continuos $f$ . (De hecho, el método también puede establecer la convexidad.) Sea $x,y\ge 0$ y que $\mathbf a, \mathbf b\in \Bbb R^2$ sea $$ \mathbf a = (1,x)\ \ \ \text{ and } \ \ \ \mathbf b=(1,y). $$ Si denotamos $\|(x_1,x_2)\|_p =(x_1^p+x_2^p)^{\frac1{p}}$ por $p$ -normas sobre $\mathbb R^2$ , entonces la desigualdad de Minkowski dice que se mantiene $$ \left\|\frac{\mathbf a+ \mathbf b}{2}\right\|_p\ \le \frac12\|\mathbf a\|_p +\frac12 \|\mathbf b\|_p. $$ Desde $\frac12(\mathbf a+\mathbf b) = (1,\frac{x+y}2)$ se deduce que $$ \left(1+\left(\frac{x+y}2\right)^p\right)^{1/p}\le \frac12\left(1+x^p\right)^{1/p}+ \frac12\left(1+y^p\right)^{1/p}, $$ es decir, $$ f\left(\frac{x+y}2\right)\le \frac{f(x)+f(y)}2. $$ Esto implica $f$ es una función convexa.