Composición de dos rotaciones en $\mathbb{R}^3$

Question

Es un ejercicio de Álgebra de Artin que "describe geométricamente la composición de dos rotaciones (a lo largo del eje por $0$ ) en $\mathbb{R}^3$ ".

He pensado en la siguiente forma de álgebra lineal: si $l,m$ son ejes de rotación (que pasan por $0$ ) entonces podemos pensar en $l$ , $m$ como subespacios unidimensionales. Como las rotaciones estabilizan $l$ y $m$ respectivamente, se deduce que se estabilizan $l^{\perp}$ y $m^{\perp}$ que son subespacios bidimensionales, por lo que su intersección es $1$ -dimensional, digamos una línea $n$ de paso $0$ .

Entonces la composición de las rotaciones a lo largo de $l$ y $m$ es la rotación a lo largo de la línea $n$ .

¿Es esta la forma correcta? Si no, dame una pista.

Answer 1

No es correcto ya que una rotación con un subespacio conservado seguida de otra rotación con otro subespacio conservado no hace que se conserve la intersección. No estoy seguro de lo que se quiere decir con "describir geométricamente". Sabemos que las únicas transformaciones que preservan la norma son las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones, y como las transformaciones que preservan la norma son cerradas por composición, sabemos que la combinación de dos rotaciones debe ser otra transformación que preserva la norma. También sabemos que las rotaciones preservan una base ortogonal y su orientación (determinante), por lo que combinarlas también lo hace. En particular, sabemos que las rotaciones son esencialmente matrices ortogonales con determinante uno, por lo que una combinación también lo es. Encontrar el eje de rotación es equivalente a encontrar un vector propio.