Secuencia $\ln(n)/n$ a $0$

Question

Estoy tomando un curso de análisis real para mi segundo año y todavía soy nuevo cuando se trata de la convergencia de una secuencia utilizando la definición de M-epsilon.

He simplificado mi secuencia hasta $$\frac{\ln(n)}{n}<\epsilon,$$

¿pero a dónde voy desde aquí? ¿Cómo puedo encontrar un límite superior para $\ln(n)/n$ He intentado utilizar $\epsilon/n$ y $(n-1)/n$ pero no satisface la desigualdad para un gran $n$ .

Answer 1

Con la ayuda de la pista del primer comentario de @Gary lo solucionaremos. Sabemos que $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},$$ por lo que tenemos que $$n\leq\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\sqrt{2n})^k}{k!}=e^{\sqrt{2n}}$$ lo que implica que $$n\leq e^{\sqrt{2n}}$$ así que $$\ln(n)\leq\sqrt{2n}$$ y $$\frac{\ln(n)}{n}\leq\frac{\sqrt{2n}}{n}=\sqrt{\frac{2}{n}}.$$ Queremos $\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon$ , $\forall n\in\mathbb{N}$ que son mayores que algunos $n_0\in\mathbb{N}$ .
Así que $$\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon$$ $$\iff\frac{2}{n}<\epsilon^2$$ $$\iff n>\frac{2}{\epsilon^2}.$$ Si elegimos $n_0=\frac{2}{\epsilon^2}+1$ tenemos que $\forall\epsilon>0$ , $\exists n_0\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n>n_0$ , $\frac{\ln(n)}{n}<\epsilon$ por lo que nuestra secuencia converge a cero por definición.

Answer 2

Utilicemos la definición integral del logaritmo natural. Obsérvese que para $n\gt1$ tenemos

$$\ln n=\int_1^n{dt\over t}=\int_1^\sqrt n{dt\over t}+\int_\sqrt n^n{dt\over t}\lt\int_1^\sqrt n dt+\int_\sqrt n^n{dt\over\sqrt n}\lt\int_0^\sqrt n dt+\int_0^n{dt\over\sqrt n}=\sqrt n+\sqrt n$$

Por lo tanto,

$$0\lt{\ln n\over n}\lt{2\sqrt n\over n}={2\over\sqrt n}$$

así que $\left|\ln n\over n\right|\lt\epsilon$ para todos $n\gt4/\epsilon^2$ .

Answer 3

Para encontrar el máximo de una secuencia considerémosla como una función, a saber

$$f(x) = \frac{\ln x}{ x}.$$

Suponiendo que $x>0$ encontramos el extremo de esta función

$$f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}=0 \Rightarrow \ln x =1 \Rightarrow x=e.$$

Entonces

$$\sup_{x \in [1,\infty)} \frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{e} \Rightarrow | \frac{\ln n}{n}| \leq \frac{1}{e} \quad \forall n > 0 .$$

La segunda secuencia es clara ya que tenemos

$$|\frac{1-n}{n}| = |1- \frac{1}{n}| < 1 \quad \forall n > 0$$