Dejemos que $x(t)$ sea una variable aleatoria no negativa dependiente del tiempo. Se sabe que $x(t)$ es estacionario, lo que significa que la distribución de probabilidad es la misma para todos los tiempos. Sin embargo, está autocorrelacionada, lo que significa que los valores futuros de $x$ dependen en cierta medida de su pasado. $x(t)$ puede suponerse algo suave, pero no se sabe mucho sobre ella.
Dejemos que $y(t)$ sea su convolución con un determinado núcleo $k(t)$ , a saber
$$y(t) = k*x = \int_{-\infty}^{\infty} k(\tau) x(t - \tau) d\tau$$
Sobre el núcleo se sabe que es causal ( $k(t) = 0 \; \forall t < 0$ ), suave y positivo ( $k(t) > 0 \; \forall t \geq 0$ ). Interpretando el núcleo como una distribución de probabilidad, podemos encontrar sus dos primeros momentos
$$\mu_k = \int_{-\infty}^{\infty} t k(t) dt$$ $$\sigma^2_k = \int_{-\infty}^{\infty} (t - \mu_k)^2 k(t) dt$$
La forma exacta del núcleo no se conoce a priori, pero la desviación estándar $\sigma_k$ es conocido, y se garantiza que sea positivo. También se sabe que $\mu_k \approx \sigma_k$ pero no se puede suponer una igualdad exacta.
$y(t)$ es conocida, y el objetivo de esta pregunta es hacer algunas afirmaciones sobre la función de autocorrelación de $y(t)$ . Autocorrelación de un proceso estacionario definido como
$$ R_y(\Delta t) = E[(y(t) - \mu_y)(y(t+\Delta t) - \mu_y)] = E[(y(t)y(t+\Delta t)] - \mu_y^2$$
donde $\mu_y = E[y(t)] = E[x(t)] = \mu_x$ porque $k(t)$ está normalizado.
El paso previo es relacionar $R_y$ y $R_x$ . Como se ha demostrado aquí ,
$$R_y = (k * k) * R_x = R_h * R_x$$
Preguntas :
- ¿Se puede demostrar que $R_y(\Delta t) > R_x(\Delta t) \;\; \forall \Delta t > 0$ ? Sería lógico que una función suavizada tuviera mayor autocorrelación que la original.
- En caso de que haya algunas distribuciones de $x(t)$ para el que 1. no es cierto, sería genial ver un ejemplo, dado que, por ejemplo, $k(t)$ es una distribución exponencial.
- Lo más importante es que estoy interesado en la reducción de los límites $R_y$ en función de $\Delta t$ y $\sigma_k$
EDITAR : He aquí un ejemplo. En la imagen de abajo simulamos algunas señales para la duración de 10s con un paso de tiempo de 1ms. El eje x siempre denotará el tiempo. Preste atención a los números en el eje x. A veces sólo mostraré el principio de la dinámica para resolverla mejor, luego se puede suponer que el comportamiento para el resto del tiempo es comparable.
La primera fila es la señal de origen $x(t)$ que es ruido blanco en este ejemplo, así como su autocorrelación. La CA tiene un fuerte pico en t=0 y pequeñas fluctuaciones en torno a cero en los demás momentos. En la segunda fila convolvemos $x(t)$ con un núcleo exponencial $k(t)$ de la escala de tiempo $\tau = 0.4$ s. Su autocorrelación debería ser ahora también una exponencial que decae suavemente (vemos algunas fluctuaciones debidas al tamaño finito de los datos). En la tercera fila consideramos una señal de origen diferente $x'(t)$ que se convierta en la inversa de $k(t)$ . Para ello, calculamos el núcleo inverso y lo representamos gráficamente, así como la nueva señal de la fuente y su autocorrelación. Se puede ver que la inversa de la distribución exponencial es un "pulso" de un solo paso de tiempo, una oscilación de muy alta magnitud y muy baja escala de tiempo, algo que yo consideraría patológico y poco plausible para datos reales. Finalmente, la última fila muestra que si $k(t)$ se aplica a la señal de origen $x'(t)$ La señal resultante es ruido blanco, como se espera por diseño.
Así, en este ejemplo, el espectro de potencia de la señal convolucionada es más estrecho que el de la señal original, lo que contradice la hipótesis de mi Q1. Sin embargo, la señal de origen asociada es patológica, y no se ajusta a la hipótesis de ser suave (es decir, lipshitz-continua) al menos en cierta medida.
Así que, la versión refinada de Q1 es encontrar las condiciones en las que se cumple la hipótesis. ¿Hay ejemplos de funciones fuente suaves en los que se viole la Q1? ¿Y si se puede suponer que la autocorrelación de la señal de la fuente no es negativa?
