Significado de las derivadas de los campos vectoriales

Question

Tengo una duda sobre el significado real de la derivada de un campo vectorial. Esta pregunta parece una tontería al principio, pero la duda me surgió al estudiar la definición de espacio tangente.

Si he entendido bien un vector es un operador de derivada direccional, es decir: un vector es un operador que puede producir derivadas de campos escalares. Si ese es el caso entonces un vector actúa sobre un campo escalar y me dice cómo cambia el campo en ese punto.

Sin embargo, si un vector es un operador derivado, un campo vectorial define un operador derivado diferente en cada punto. Así que diferenciar un vector sería diferenciar un operador de derivada, y eso me parece extraño al principio. Pensaba, por ejemplo, que la derivada total de un campo vectorial produciría tasas de cambio del campo, pero mis estudios me llevaron a un enfoque diferente, en el que la derivada total produce tasas de cambio sólo para campos escalares y para campos vectoriales produce el pushforward.

Entonces, ¿cuál es el verdadero sentido de diferenciar un campo vectorial sabiendo todo esto?

Answer 1

Según tengo entendido, estas son sus preguntas:

• ¿Cómo se define la derivada de un campo vectorial? ¿Tomamos simplemente las "derivadas" de cada vector del campo? Si es así, ¿qué significa tomar la derivada de un operador diferencial?
• ¿Por qué la derivada total de un campo escalar da información sobre las tasas de cambio, mientras que la "derivada total" de un campo vectorial da el pushforward (que no parece estar relacionado con las tasas de cambio)?

Creo que la mejor manera de responder a estas preguntas es proporcionar un contexto más amplio:

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En el cálculo, nos preguntamos cómo encontrar las derivadas de las funciones $F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ . La respuesta típica es la derivado total $DF\colon \mathbb{R}^m \to L(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ que asigna a cada punto $p \in \mathbb{R}^m$ un mapa lineal $D_pF \in L(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n)$ . Con respecto a las bases estándar, este mapa lineal puede representarse como una matriz: $$D_pF = \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial F^1}{\partial x^1}\right|_p & \cdots & \left.\frac{\partial F^1}{\partial x^m}\right|_p \\ \vdots & & \vdots \\ \left.\frac{\partial F^n}{\partial x^1}\right|_p & \cdots & \left.\frac{\partial F^n}{\partial x^m}\right|_p \end{pmatrix}$$

Personalmente, creo que esto codifica muy bien la idea de "tasa de cambio". (¡Sólo hay que ver todas esas derivadas parciales!)

Vamos a especializarnos en el caso $m = n$ . Psicológicamente, ¿cómo se intuyen estas funciones $F\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ ? Hay dos respuestas habituales:

(1) Intuimos $F\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ como un mapa entre dos espacios diferentes. Los puntos del espacio del dominio se envían a puntos del espacio del codominio.

(2) Intuimos $F\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ como un campo vectorial. Cada punto de $\mathbb{R}^n$ se le asigna una flecha en $\mathbb{R}^n$ .

Esta distinción es importante. Cuando generalizamos a partir de $\mathbb{R}^n$ a los colectores abstractos, estas dos ideas adoptarán formas diferentes. En consecuencia, esto significa que terminaremos con diferentes conceptos de "derivada".

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En el caso (1), los mapas $F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ generalizar a mapas suaves entre colectores $F \colon M \to N$ . En este entorno, el concepto de "derivada total" se generaliza muy bien a "pushforward". Es decir, tiene sentido hablar del pushforward de un mapa suave $F \colon M \to N$ .

Pero has preguntado por los campos vectoriales, lo que nos lleva al caso (2). En este caso, primero tenemos que tener cuidado con lo que entendemos por "vector" y "campo vectorial".

A vector $v_p \in T_pM$ en un punto $p$ es (como usted dice) un operador de derivada direccional en el punto $p$ . Esto significa que $v_p$ introduce un campo escalar $f\colon M \to \mathbb{R}$ y da como resultado un número real $v_p(f) \in \mathbb{R}$ .

A campo vectorial $v$ en $M$ es un mapa que asocia a cada punto $p \in M$ un vector $v_p \in T_pM$ . Esto significa que un campo vectorial define un operador de derivación en cada punto.

Por lo tanto: un campo vectorial $v$ puede considerarse como un operador que introduce campos escalares $f\colon M \to \mathbb{R}$ y emite campos escalares $v(f)\colon M \to \mathbb{R}$ .

En este contexto, ya no tiene sentido hablar de la "derivada total" de un campo vectorial. Tú mismo lo has dicho: ¿qué significa hablar de "derivadas" de vectores? Esto no tiene sentido, así que tendremos que ir por otro camino.

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En geometría diferencial, hay dos formas de hablar de la derivada de un campo vectorial con respecto a otro campo vectorial:

• Las conexiones (normalmente denotadas como $\nabla_wv$ o $D_wv$ )
• Las derivadas de Lie (normalmente denotadas como $\mathcal{L}_wv$ o $[w,v]$ )

Intuitivamente, estas nociones capturan la idea de "tasa de cambio infinitesimal de un campo vectorial $v$ en la dirección de un campo vectorial $w$ ."

Pregunta: ¿Qué aspecto tienen estas construcciones en $\mathbb{R}^n$ ?

Aprovechando que estamos en $\mathbb{R}^n$ podemos considerar nuestros campos vectoriales a la manera del cálculo: como funciones $v\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ . Así, podemos escribir los componentes como $v = (v^1,\ldots, v^n)$ .

El (Levi-Civita) conexión de $v$ con respecto a $w$ se define como $$\nabla_wv = (w(v^1), \ldots, w(v^n)),$$ donde $$w(v^i) := w^1\frac{\partial v^i}{\partial x^1} + \ldots + w^n\frac{\partial v^i}{\partial x^n}.$$

El Derivada de Lie de $v$ con respecto a $w$ tiene una definición técnica en términos de flujos en la que no quiero entrar, pero lo esencial es que es similar a la respuesta de Rod Carvalho.

Además, en $\mathbb{R}^n$ tenemos la agradable fórmula

$$\mathcal{L}_wv = \nabla_wv - \nabla_vw,$$

que ayuda al cálculo.

Answer 2

Dejemos que $\mathbb{v} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ sea un campo vectorial, y sea $\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser un campo escalar . Supongamos que queremos obtener el derivada direccional de $\varphi$ en cada $x$ en dirección a $\mathbb{v} (x)$ que es la siguiente

$$(D_{\mathbb{v}} \varphi) (x) := \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{\varphi (x + t \mathbb{v} (x)) - \varphi (x)}{t} = \langle \nabla \varphi (x), \mathbb{v} (x) \rangle$$

Esta es la Derivada de la mentira de $\varphi$ a lo largo de $\mathbb{v}$ . Se utiliza ampliamente en la teoría de control, es decir, en el estudio de Estabilidad de Lyapunov de los sistemas dinámicos. Si el campo vectorial $\mathrm{v}$ es el gradiente de un campo escalar $\psi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ entonces la derivada de Lie de $\varphi$ a lo largo de $\mathrm{v} (x) := \nabla \psi (x)$ viene dada por

$$(D_{\mathbb{v}} \varphi) (x) = \langle \nabla \varphi (x), \mathbb{v} (x) \rangle = \langle \nabla \varphi (x), \nabla \psi (x) \rangle$$

¿Ha respondido esto, aunque sea remotamente, a su pregunta?

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Actualización: Ya que mi post original no respondía a la pregunta del OP, añadiré esta actualización. Que $\mathbb{u}, \mathbb{v} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ sean campos vectoriales. Sea $\mathbb{u}_i$ sea el $i$ -a componente de $\mathbb{u}$ y observe que $\mathbb{u}_i$ es un campo escalar. Podemos calcular la derivada de Lie de $\mathbb{u}_i$ a lo largo de $\mathbb{v}$ que es la función escalar

$$(D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}_i) (x) = \langle \nabla \mathbb{u}_i (x), \mathbb{v} (x) \rangle$$

Podemos definir la derivada de Lie del campo vectorial $\mathbb{u}$ a lo largo del campo vectorial $\mathbb{v}$ como sigue

$$(D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}) (x) := \left[\begin{array}{c} (D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}_1) (x)\\ (D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}_2) (x)\\ \vdots \\ (D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}_n) (x)\end{array}\right]$$

Por último, tenga en cuenta que $(D_{\mathbb{v}} \mathbb{u}) (x) = ((D \mathbb{u}) (x)) \, \mathbb{v} (x)$ , donde $(D \mathbb{u})$ es el Jacobiano de $\mathbb{u}$ .