tratando de entender qué es un anillo polinómico

Question

No entiendo muy bien qué es un anillo polinómico, quizá por la falta de ejemplos.

Consideremos, por ejemplo, el anillo de polinomios $\mathbb{Z}[x]$ . ¿Puedes decirme cómo es este anillo polinómico (sus elementos)? ¿Cómo se define x, es $x \in \mathbb{Z}$ ? ¿Cuáles son las dos operaciones del anillo?

Answer 1

Si realmente necesita una definición formal, el anillo $R[x]$ de polinomios sobre un anillo (conmutativo) $R$ se define como el conjunto de todas las funciones $f:\mathbb N \to R$ que tienen un soporte finito, es decir, $f(n)=0$ para todos los casos, excepto un número finito de $n$ . (Aquí $\mathbb N$ contiene $0$ .) Ese conjunto es el mismo que el conjunto de todas las secuencias en $R$ que finalmente son $0$ .

El elemento cero en $R[x]$ es $(0,0,0,\dots)$ . El elemento de identidad en $R[x]$ es $(1,0,0,\dots)$ .

$x$ se define como $(0,1,0,\dots)$ .

La suma se define por componentes y la multiplicación por $x^n=(0,0,\dots,1,0,\dots)$ , donde el $1$ está en el $n$ -ésima posición, y luego se expande por linealidad a polinomios generales.

El resultado es que $f=(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n,0,\dots)$ es lo mismo que $a_0+a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$ como era de esperar.

Si se elimina el requisito de soporte finito, se obtiene el anillo de series de potencias formales sobre $R$ .

Si $R$ no es conmutativo, hay que declarar que $x$ se desplaza con $R$ .

Pero realmente deberías centrarte en el operativo definición: $R[x]$ es un anillo que contiene $R$ y $x$ y $x$ no está sujeta a ningún otro requisito, salvo que se conmute con $R$ y lo que se deduce de los axiomas del anillo. Esto implica la propiedad universal de $R[x]$ : Si $R$ es un subring de $A$ y $a\in A$ se desplaza con $R$ entonces existe un único homomorfismo de anillo $R[x]\to A$ que arregla $R$ y envía $x$ a $a$ . También decimos que $R[x]$ es el libre $R$ -sobre un elemento.

Answer 2

Si $R$ es un anillo, entonces el anillo de polinomios $R[X]$ es el anillo de todos los polinomios con coeficientes en $R$ $$R[X] = \{a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n : a_i \in R\ \forall i\}$$ con la habitual suma y multiplicación de polinomios:

$$\sum_{i=0}^na_iX^i+\sum_{i=0}^nb_iX^i=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i \quad\text{(some of the $ a_i, b_i $ may be $ 0 $)}\\\sum_{i=0}^na_iX^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jX^j=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_ib_jX^{i+j}$$

Suelo utilizar una mayúscula $X$ en lugar de $x$ para los elementos de este anillo para subrayar que este $X$ es un símbolo formal que no toma ningún valor específico. Los elementos de este anillo son polinomios formales, en los que tratamos cada polinomio como un objeto en sí mismo: no introducimos ningún valor para $X$ .

Answer 3

Dado un anillo $K$ el anillo polinómico $K[x]$ para algún trascendental $x$ en $K$ es el anillo de polinomios $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ en $x$ con coeficientes de $K$ .

Dados dos polinomios $f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i$ y $g(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i$ en $K[x]$ La suma y la multiplicación se definen como $f(x) + g(x) = \sum_{i = 0}^m (a_i + b_i) x^i$ y $f(x) \cdot g(x) = \sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^m a_i b_i x^{i + j}$ donde $m \geq n$ con adición y multiplicación de coeficientes definidos por las operaciones anulares habituales de $K$ .

Así que los elementos de $\Bbb Z[x]$ se vería como $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ para $a_i \in \Bbb Z$ es decir, polinomios en $x$ con coeficientes enteros.

Answer 4

Un ejemplo de elemento de $\Bbb Z[x]$ se ve así: $$ x^3 - 5x^2 + 3x + 11 $$ y la suma y la multiplicación funcionan como siempre lo han hecho: $$ (x^2 + 3x - 5) + (3x^2 + 7) = 4x^2 + 3x + 2 $$ y $$ (x^2 + 3x - 5)\cdot (3x^2 + 7) = x^2(3x^2 + 7) + 3x(3x^2 + 7) -5(3x^2 + 7)\\ = 3x^4 + 7x^2 + 9x^3 + 21x -15x^2 - 35\\ = 3x^4 + 9x^3 -6x^2 + 21 x - 35 $$ El símbolo $x$ es sólo un $x$ En el caso de la televisión, no se define por sí misma como algo más que un símbolo. Está ahí para ayudarte a ordenar la multiplicación y la adición anteriores.