Probabilidad de que las bolas de color se separen

Question

Digamos que lanzamos $b$ bolas azules y $r$ bolas rojas de manera uniforme en $n$ cajas. La probabilidad de que ninguna caja contenga tanto una bola roja como una azul es entonces, por el principio de exclusión de la inclusión:

$$p = \sum_{k,\ m} \binom{n}{k} \binom{n-k}{m} (-1)^{n-m-k} \left(\frac{m}{n}\right)^r \left(\frac{k}{n}\right)^b$$

Estoy interesado en el límite superior $p$ . Si suponemos que las bolas rojas se lanzan primero, y sin reemplazo, podemos acotarlo como

$$\left(1-\frac{r}{n}\right)^b$$

O 1 si ambos $r$ y $b$ son tan grandes como $n$ . Nota $e^{-rb/n}$ es otra buena aproximación, aunque no es un límite inferior ni superior.

¿Ves alguna forma de obtener un límite superior simple? He tratado de buscar en las expansiones asintóticas, pero no veo cómo se puede hacer.

Answer 1

No es lo que buscas, pero un resultado asintótico sencillo sería: suponer que el número de bolas azules (rojas) en cada caja es iid Poisson con $\lambda_B = b/n$ ( $\lambda_R=r/n$ ), por lo que la probabilidad de que ninguna caja tenga bolas rojas y azules sería

$$P \approx \left(1-(1-e^{-\lambda_B})(1-e^{-\lambda_R}) \right)^n=\left(e^{-b/n} + e^{-r/n} - e^{-(r+b)/n} \right)^n \tag{1}$$

Apuesto a que esto sólo es útil para $n$ mucho más grande que $r,b$ y que sobreestima $P$ pero no parece fácil demostrar que es un límite superior.

Otra aproximación: el número esperado de cajas con bolas rojas es $E_r=n \left(1-(1-1/n)^r\right)$ . Igualando este número (esperado) con el número real, obtenemos

$$P \approx \frac{(n-E_r)!(n-E_b)!}{n! \, (n-E_r-E_b)!} \tag{2}$$

Algunos resultados ( ps proviene de la simulación, pa1 y pa2 son las aproximaciones anteriores)

  n  b    r   ps     pa1     pa2
1000 30  10  0.741  0.745  0.736
 500 30  30  0.165  0.183  0.168  
 500 80   8  0.278  0.309  0.275 
 500 20   6  0.786  0.791  0.782
  10  5   3  0.215  0.341  0.167

Answer 2

En caso de que alguien esté interesado, este gráfico traza la probabilidad de separación para $n\in[1,20]$ , $r=2,b=3$ . Los puntos son el valor correcto, la línea verde es $e^{-rb/n}$ La línea naranja es el límite inferior de mi mensaje original, y la línea azul es el límite superior de mi comentario a leonbloy.