¿Cuál es el valor máximo posible de $E[X_1 X_2 X_3]$ ?

Question

Supongamos que $X_1,X_2,X_3$ son variables aleatorias discretas definidas en un espacio de probabilidad común $\Omega$ y tomando valores en $\{-1,1\}$ . Además, supongamos que $E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$ . Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es el máximo valor posible de $E[X_1 X_2 X_3]$ ?

Es fácil ver que $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ para cada $i,j \in I_3 (i \neq j)$ . Pero, ¿cómo puedo seguir avanzando? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Por supuesto, tenemos $-1 \le a \le 1$

Después de esta parametrización podemos escribir la probabilidad conjunta como

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ que da restricciones adicionales $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ o $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ y $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Pero esto se verifica con el candidato original al máximo ( $a=1$ )

Por lo tanto, el máximo es $E[X_1 X_2 X_3]=1$ que se consigue con

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Sean cuatro estados, cada uno de ellos con probabilidad $1 \over 4$ : $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$ .

Puedes comprobar que las condiciones se mantienen. Sin embargo,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

que es claramente el valor más alto que puede tomar esta expresión.