Suprema Properties y Real Value Functinos

Question

Supongamos que $f : A \to \mathbb{R}$ y $g: A \to \mathbb{R}$ son funciones de valor real. Definir $(f+g)[A] = \{f(x) + g(x): x \in A\}$ y $f[A] + g[A] = \{f(x) + g(y): x, y \in A\}$ .

¿Cuál es la relación entre $\sup(f[A] + g[A])$ y $\sup((f+g)[A])$ ?

Repita el ejercicio para $\inf(f[A] + g[A])$ . Esencialmente un lado es $f(x) + g(x)$ y el otro es $f(x) + g(y)$ . Estoy pensando que son iguales, pero no estoy seguro. Yo también necesito una prueba.

Answer 1

Utilizar que $\{ f(x) + g(x): x \in A\} \subset \{f(x) + g(y): x, y \in A\}$

Answer 2

Así que sabemos que, utilizando sus definiciones, $$(f+g)[A] \subseteq f[A]+g[A]$$ porque cada elemento del lado derecho es un elemento del lado izquierdo al establecer $y=x$ . Por lo tanto, cualquier límite superior para el lado izquierdo es también un límite superior para el derecho, y tenemos $$\sup((f+g)[A]) \leq \sup(f[A]+g[A])$$

El cálculo dual se aplica para el ínfimo (¿ves por qué?) y obtenemos que $$\inf((f+g)[A]) \geq \inf(f[A]+g[A])$$