Una cuestión sobre las deformaciones del divisor Theta en el jacobiano de una curva compleja

Question

Supongamos que $C_g$ es una curva compleja compacta y suave (de género $g$ ), y que $J$ sea su Jacobiano . Recordemos que el jacobiano $J$ de una curva $C_g$ es un toro complejo que puede obtenerse por contracción de todas las curvas racionales de la $g$ -ésima potencia simétrica de $C_g$ , por ejemplo, $Sym^g(C_g)$ . Recordemos también que existe una divisor theta $\Theta$ en $J$ , en función de un punto $p\in C_g$ . El divisor $\Theta$ es la imagen en $J$ del conjunto de puntos $(p,p_1,...,p_{g-1})$ con $p$ arreglado.

Pregunta. Cómo calcular la dimensión del conjunto de divisores en $J$ linealmente equivalente a $\Theta$ ? En otras palabras, ¿qué es $dim( H^0(J,\cal O(\Theta)))$ ?

Answer 1

Como mi comentario era demasiado críptico, lo explicaré en forma de respuesta.

Una polarización en una variedad abeliana $A$ es un divisor amplio $D$ (módulo de equivalencia lineal). Una polarización es principal si la auto-intersección $D^g$ es igual a $g!$ , donde $g = \dim A$ . Es bien sabido que el divisor theta es una polarización principal del jacobiano. No estoy seguro de cuál es una buena referencia, tal vez Griffiths-Harris.

El teorema de Riemann-Roch para variedades abelianas (demostrado, por ejemplo, en Mumford) dice que la característica de Euler del haz de líneas correspondiente a un divisor $D$ es $D^g/g!$ Así que es $1$ en el caso de una polarización principal. Ahora bien, también se demuestra en Mumford que sólo una $\dim H^i$ es distinto de cero, por lo que si el divisor es amplio tiene que ser $H^0$ . Ponerlo todo junto $\dim H^0 =1$ .

Edición: Me han informado por correo electrónico de que mi definición de polarización es demasiado restrictiva, por lo que no es del todo correcta. El divisor theta define una polarización principal de todos modos y esto se demuestra en algunas de las otras respuestas.

Answer 2

En general, dejemos $L$ sea un haz de líneas sobre un toro complejo $X=V/ \Lambda$ de dimensión $g$ y que $H$ sea la forma hermitiana correspondiente a la primera clase de Chern $c_1(L)$ . La parte imaginaria $E:= \textrm{Im}(H)$ es una forma alterna que tiene valores enteros en la red $\Lambda$ .

Por el álgebra lineal elemental existe una base de $\Lambda$ con respecto a la cual $E$ viene dada por la matriz $$\left(\begin{matrix}0 & D \cr - D & 0 \end{matrix}\right),$$ donde $D=\textrm{diag}(d_1, \ldots, d_g)$ y el $d_i$ son números enteros estrictamente positivos que satisfacen $d_i|d_{i+1}$ para todos $i=1, \ldots ,g-1$ .

Si $L$ es positivo-definido entonces se demuestra que $$h^0(X, L)=\textrm{Pf}(E)=\det(D).$$ La prueba consiste en escribir explícitamente una base para $H^0(X, L)$ utilizando funciones theta canónicas, como en la respuesta de Sebastián.

Si $X=J(C)=H^0(\omega_C)^*/H_1(C, \mathbb{Z})$ es el jacobiano de una curva suave, entonces el divisor theta $\Theta$ es un polarización principal es decir $D$ es la matriz de identidad. Esto puede verse tomando una base de homología estándar para $H_1(C, \mathbb{Z})$ .

De ello se desprende $h^0(X, \Theta)=1$ .

Véase [Birkenhake-Lange, Variedades abelianas complejas, capítulos 3 y 11] para más detalles.

Answer 3

Esto también puede hacerse de forma puramente algebraica. Tomemos la descripción dada de $\Theta$ como el lugar de las clases efectivas en $X=Jac^{g-1}C$ . Poner $Y=Jac^gC$ . Elige un punto $D$ en $Y$ con $h^0(C,D)=1$ ; el teorema de Abel (que $C^{(g)}\to Y$ es birracional) garantiza que esto se cumple para todos los $D$ fuera de algún lugar de codimensión al menos $2$ . Hay una incrustación $i_D:C\to X$ dado por $i_D(x)=K_C-D+x$ . Entonces $i_D(C)\cap\Theta$ es el conjunto de $x$ en $C$ tal que $K-D+x$ es eficaz; por la dualidad de Serre, esto equivale a $h^0(C,D-x)>0$ . Pero $h^0(C,D)=1$ , por lo que los únicos puntos de este tipo $x$ son los puntos del único divisor efectivo $D_1$ en el sistema lineal $|D|$ Así que $i_D(C)\cap\Theta$ es exactamente el divisor $D_1$ , considerado como un subesquema de $C$ . Así que si $h^0(X,\Theta)=r+1$ , entonces hay un $r$ -subespacio dimensional de secciones en $H^0(X,\Theta)$ que se desvanecen a lo largo de $i_D(C)$ .

Nuestro objetivo es demostrar que $r=0$ . Consideremos el esquema de incidencia $W\subset Y\times |\Theta|$ que se compone de pares $(D,\Phi)$ con $i_D(C)\subset\Phi$ . Las fibras de $pr_1:W\to Y$ tienen una dimensión de al menos $r-1$ Así que $\dim W\ge g+r-1$ y así la fibra $pr_2^{-1}(\Theta)$ tiene una dimensión mínima de $g-1$ . Por el teorema de Abel, como antes, hay un punto $E$ en $pr_2^{-1}(\Theta)$ con $h^0(C,E)=1$ . Entonces $i_E(C)$ no radica en $\Theta$ por el argumento anterior, contradicción.

Entonces puede demostrar que $\Theta$ es amplio, demostrando que es no degenerado: el conjunto de puntos $a$ en $A=Jac^0C$ tal que $t_a^*\Theta$ es linealmente equivalente a $\Theta$ es trivial. En cualquier torsor bajo una variedad abeliana, un haz de líneas no degenerado con un valor no evanescente $H^0$ es amplio (voy a dar una referencia general a Mumford en este punto).

Corolario: $\Theta^g=g!$ (de Riemann-Roch en $X$ ).

Answer 4

También existe una aproximación de las superficies de Riemann a esta cuestión, como se explica, por ejemplo, en el bok de Narasimhan sobre superficies compactas de Riemann, o también Griffiths-Harris: By Riemann's theorem, "su" divisor theta es (hasta la traslación) el mismo que el divisor de una sección holomorfa en un haz dado por factores de automorfia explícitamente: Sea $J=\mathbb{C}^g/\Gamma$ y $L\to J$ sea un haz de líneas holomorfo. Dado que $\pi^*L$ es trivial, por lo que se ha de retroceder a $\mathbb{C}^g$ existen funciones holomorfas $\varphi_\lambda,$ para $ \lambda\in\Gamma$ sin ceros tal que las trivilaciones $$ L_{\pi(z)}=(\pi^*L)_ z\cong \mathbb C $$ y $$L_{\pi(z)}= (\pi^*L)_ {z+ \lambda} \cong \mathbb C$$ difieren en $\varphi_\lambda.$ El $\varphi_\lambda$ para el paquete theta son, si identificamos $\Gamma=<e_1,..,e_g,B_1,..,B_g>$ como siempre, dado por $\varphi_{e_l}=1$ y $$\varphi_{B_l}(z)=\exp^{-2\pi i z_l-\pi i B_{l,l}},$$ donde $z=(z_1,..,z_g)$ y $B_l=(B_{1,l},..,B_{g,l}).$ Todas las secciones holomorfas en el haz $L\to J$ vienen dadas, por tanto, por las funciones $\theta$ en $\mathbb C^g$ satisfaciendo $\theta(z+e_l)=\theta(z)$ y $\theta(z+B_l)=\varphi_l(z)\theta(z),$ pero se puede demostrar fácilmente que sólo existe una función de este tipo hasta la multiplicación por una constante, la famosa función theta de $J.$