Un problema de distribución normal

Question

Si $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ para $i=1,2, \ldots, 2n$ entonces cuál es la distribución de $\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} X_i^2}{\sum\limits_{i=n+1}^{2n} X_i^2}$ ?

Desgraciadamente no consigo averiguar cómo empezar a trabajar con este problema. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Se trata de una versión no normalizada Distribución F .

La distribución F (en raras ocasiones llamada distribución Beta de segundo tipo) suele definirse como la del cociente $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i^2/n}{\sum_{i=1}^m Y_i^2/m}$$ donde $n$ y $m$ se denominan números de grados de libertad en el numerador y el denominador, y el $X$ s y $Y$ s son independientes y se distribuyen como $\mathcal{N}(0,1)$ .

"No normalizado" significa únicamente que las divisiones por $n$ y $m$ no están hechos. Sólo se vuelve a escalar la cosa.

Existe una inmensa bibliografía al respecto, y se introducen en cualquier libro de texto de estadística que hable de ANOVA.