Tengo un poco de dificultad para entender qué hace que una órbita planetaria sea explícitamente elíptica. ¿Es simplemente que la velocidad inicial fue diferente del caso de órbita circular para una posición inicial dada (radio desde el sol) y esto se convierte en una órbita elíptica (o más generalmente, una sección cónica arbitraria)?
¿Hay otra información contenida en la excentricidad de una órbita?
De hecho, hay más información contenida en la excentricidad. El problema de Kepler (de hecho, todo problema de dos cuerpos con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado) tiene una simetría sutil: es simétrico bajo ciertas rotaciones del espacio de cuatro dimensiones. Según el teorema de Noether, cada simetría de un sistema corresponde a una cantidad conservada. Se puede demostrar que el vector $$\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} -mK\hat{r}$$ $\mathbf{A}$ se llama vector Laplace-Runge-Lenz. Calculando el producto escalar de $\mathbf{r}$ y $\mathbf{A}$ obtenemos $$\mathbf{r} \cdot \mathbf{A} = A r \cos\phi = \mathbf{r}\cdot(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - mKr = \mathbf{L}\cdot (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) - mKr = L^2 - mKr.$$ Resolviendo la ecuación anterior para $r$ y algunas manipulaciones algebraicas nos dan $$r = \frac{\frac{L^2}{mK}}{1 + A\frac{\cos\phi}{mK}}.$$ Como se puede ver, esta es la ecuación de la órbita de un cuerpo bajo un inverso del cuadrado donde la excentricidad $\epsilon$ está relacionada con la magnitud del vector LRL: $$\epsilon \equiv \frac{A}{mK}.$$ El hecho de que las órbitas sean secciones cónicas está directamente relacionado con una cantidad conservada y, por lo tanto, con una simetría del sistema.
La órbita (en coordenadas polares) de un cuerpo bajo una fuerza inversa al cuadrado, $-K/r^2$, está dada por $$r(\phi)=\frac{L^2/mK}{1+\sqrt{1+\frac{2L^2E}{mK^2}}\cos\phi},$$ donde $E$ y $L$ son la energía y el momento angular de la partícula. La ecuación anterior es simplemente la representación polar de una sección cónica con parámetro cónico $L^2/mK$ y excentricidad $$\epsilon=\sqrt{1+\frac{2L^2E}{mK^2}}.$$
Es claro que $$E=\frac{m\dot r^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{K}{r},$$ y $$\vec L=\vec r\times\vec p,$$ que la excentricidad depende de la velocidad inicial $\vec v(0)$ y la distancia inicial al origen $r(0)$. Conociendo estas cantidades, puedes calcular la excentricidad de la órbita.
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