Expansión de Taylor que implica $e^y$

Question

Me piden que encuentre los primeros términos no nulos en la expansión de Taylor sobre $x=0$ del PIV $y''=e^y, y(0)=1, y'(0)=-1$

¿Esta 2ª derivada se calcula como $y''=e^{y(0)}=e^1=e$ ?

Si es así, entonces $y'''=(e^y)(y')=(e^{y(0)})(-1)=(e^1)(-1)=-e$

¿ y así sucesivamente? Supongo que mi pregunta es realmente sobre cómo calcular la 2ª derivada.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que, como $y(0)=1$ , $y'(0)=-1$ y $y''(0)=\mathrm e^{y(0)}=\mathrm e$ , su La expansión de Taylor comienza con $\;y(x)=1-x+\frac{\mathrm e}2 x^2+\dotsm$

A continuación, diferenciar ambos lados de la ecuación diferencial; se obtiene $$y'''=\mathrm e^y\cdot y',\enspace\text{whence}\quad y'''(0)=\mathrm e\cdot -1=-\mathrm e,$$ así que $$y=1-x+\frac{\mathrm e}2 x^2-\frac{\mathrm e}6 x^3+\dotsm$$ Obtendríamos de forma similar $\;y^{(4)}(0)=\mathrm e(1+\mathrm e)$ , &c.