Estas dos preguntas me están volviendo loco, necesito ayudar a mi hija pero no puedo recordar todas estas cosas.
$\,(1)\,\,$ Deje $\,p(z)\,,\,q(z)\,$ dos no constantes complejas de polinomios del mismo grado s.t. $$\text{whenever |z|=1}\,\,,\,|p(z)|=|q(z)|$$
Si todos los ceros de ambas $\,p(z)\,,\,q(z)\,$ están dentro de la abrir la unidad de disco $\,|z|<1\,$ , demuestran que, a $$\forall z\in\mathbb{C}\,\,,\,q(z)=\lambda\, p(z)\,,\,\lambda\in\mathbb{C}\,\,\text{a constant}$$
Lo que hemos pensé: ya que los polinomios tienen el mismo grado, sé que $$\lim_{|z|\to\infty}\frac{q(z)}{p(z)}$$ exists finitely, so we can bound $\,\displaystyle{\frac{p(z)}{p(z)}}\,$ say in $\,|z|>1\,$ . Por desgracia, creo que no se puede utilizar el Teorema de Liouville para obtener un total enlazado como la función racional no es todo dentro de la unidad de disco...
$\,(2)\,\,$ Deje $\,f(z)\,$ ser analítico en el disco perforado $\,\{z\in\mathbb{C}\;|\;0<|z-a|<r\,,\,\text{for some}\,\,0<r\in\mathbb R\}\,$.
Probar que si $\,\displaystyle{\lim_{z\to a}f'(z)}\,$ existe y finito, a continuación, $\,a\,$ es una singularidad removible de $\,f(z)\,$ .
Mis pensamientos: Tenemos una Laurent expansión en el anterior disco$$f(z)=\ldots +\frac{a_{-n}}{(x-a)^n}+\ldots +\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+\ldots$$ so taking the derivative term-term (is there any special condition that must be fulfilled in this particular case to do so?) we get$$f'(z)=\ldots -\frac{na_{-n}}{(z-a)^{n+1}}-\ldots -\frac{a_{-1}}{(z-a)^2}+a_1+2a_2(z-a)+\ldots$$Now, as the limit of the above when $\,z\\,$ exists finitely, it must be that all the terms with negative power of $\, z-a\,$ vanish, thus $$\ldots =\,a_{-n}=a_{-n+1}=\ldots =a_{-1}=0$$ and we get that the above Laurent series for $\,f(z)\,$ is, in fact, a Taylor one and, thus, the function's limit (not the derivative's!) exists and finite when $\,z\\,$ and $\,\,$ es entonces una singularidad removible.
Cualquier ayuda en (1) si tengo derecho (2), o en ambos si hay algún problema con el último será muy apreciada.
