Irreductibilidad de una familia de polinomios

Question

Consideremos la siguiente familia de polinomios para cada número entero $d > 0$ : $$P_d(X) = X^{d+1} - X^d - 1$$ Me preguntaba si estos eran irreductibles (sobre $\mathbb{Q}$ ) o no. Comprobando los primeros cientos de valores de $d$ con Mathematica sugiere que $P_d(X)$ es reducible si $d \equiv 4\ (\text{mod}\ 6)$ . He comprobado todos los criterios de irreductibilidad que conozco pero no he encontrado nada que funcione.

Más información sobre las raíces: Estos polinomios tienen cada uno una raíz real positiva $x_0\in(1,2)$ y, si $d$ es impar, una raíz real negativa en $(-1,0)$ . Todas las demás raíces son no reales con módulo $<x_0$ . Se puede demostrar fácilmente que el polinomio es libre de cuadrados, por lo que todas las raíces son distintas.

Posible generalización: También he comprobado los términos constantes $a_0$ que no sea $-1$ . Para $a_0 = 1$ parece que es reducible si $d > 1$ et $d \equiv 1\ (\text{mod}\ 6)$ . Para $a_0 = 2$ parece ser reducible para todos incluso $d$ y si $a_0 = -2$ para todos los impar $d$ . Para $a_0$ algún otro número entero no nulo, casi todos parecen ser irreducibles, excepto esporádicamente (por ejemplo, para $a_0 = -6$ et $d = 1$ factores y para $a_0=-4$ et $d = 2$ ). Me importa sobre todo el caso $a_0 = -1$ sin embargo, así que no he pensado mucho en esto.

Answer 1

La irreductibilidad es equivalente a la de $−X^{d+1}P_d(1/X)=X^{d+1}+X−1$ y el método de la respuesta de Keith Conrad en Irreductibilidad de $x^n-x-1$ en $\mathbb Q$ debería llevar a la prueba. Especialmente, mira el notas de clase referido en los comentarios allí, contiene su caso como un teorema.

También una referencia más, en el libro Polinomios por Victor V. Prasolov, véase la sección 2.3.2 Irreductibilidad de ciertos trinomios la irreductibilidad de los trinomios de la forma $x^n \pm x^m \pm 1$ se discute.