$\overline{B_1(0)}$ no es débilmente* compacto secuencialmente en $(l^\infty)$ '

Question

Conozco el siguiente teorema de la conferencia:

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach separable. Entonces $\overline{B(0)}$ es débilmente* compacto secuencialmente en $X'$ .

Dado que se especifica que $X$ tiene que ser separable, quiero ver un ejemplo en el que $\overline{B_1(0)}$ no es necesariamente débilmente* compacto en $X'$ si elegimos un espacio de Banach $X$ que no es separable. Descubrí en un libro que $\overline{B_1(0)}$ no es débilmente* compacto secuencialmente en $(l^\infty)'$ . $l^\infty$ no es separable (ya lo demostré), pero ¿cómo podemos demostrar ahora que $\overline{B_1(0)}$ no es débilmente* compacto secuencialmente en $(l^\infty)$ '?

Answer 1

Una forma de demostrar que un espacio no es secuencialmente compacto es dar explícitamente un ejemplo de una secuencia sin ninguna subsecuencia convergente.

Aquí, podemos ver la secuencia $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , donde $\varphi_n(x) = x_n$ para todos $x \in \ell^{\infty}(\mathbb{N})$ . Claramente $\varphi_n \in \overline{B_1(0)}$ por cada $n$ . Para ver que $(\varphi_n)$ no contiene ningún $^{\ast}$ -convergente, considere una subsecuencia arbitraria $(\varphi_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ . Sea $M = \{ n_k : k \in \mathbb{N}\}$ y definir $x\in \ell^{\infty}(\mathbb{N})$ por

$$x_n = \begin{cases}\quad 0 &, n \notin M, \\ (-1)^k &, n = n_k.\end{cases}$$

Entonces $\varphi_{n_k}(x) = x_{n_k} = (-1)^k$ Así que $\lim\limits_{k\to\infty} \varphi_{n_k}(x)$ no existe, por lo que $(\varphi_{n_k})$ no es un débil $^{\ast}$ -secuencia convergente. Por lo tanto, ninguna subsecuencia de $(\varphi_n)$ es débil $^{\ast}$ -convergente, y se deduce que $\overline{B_1(0)}$ no es débil $^{\ast}$ -secuencialmente compacto.