Generación de grupos cíclicos

Question

Al comprobar si $\langle 2\rangle = U(25)$ ¿por qué es suficiente con comprobar que $2^{10} \neq 1$ y $2^4 \neq 1$ ?

Answer 1

• El orden de $2$ divide el tamaño del grupo
• $|U(25)|=20$ que tiene factores primos $2$ y $5$ .

Así que si el orden de $2$ es menor que $20$ El orden de $2$ tendría que dividir $20/2=10$ o $20/5=4$ .

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Alternativamente, mirando a los posibles pedidos de $2$ :

$\begin{align} \left .\begin{array}{l} |\langle 2\rangle| = 2 \\ |\langle 2\rangle| = 4 \end{array} \right \} &\implies 2^4=1 \\ \left . \begin{array}{l} |\langle 2\rangle| = 5 \\ |\langle 2\rangle| = 10 \end{array} \right \} &\implies 2^{10}=1 \\ |\langle 2\rangle| = 20 &\implies \langle 2\rangle = U(25) \\ \end{align}$

Answer 2

Supongo que $U(n)$ es el grupo multiplicativo de unidades mod $n$ ? Si es así...

En primer lugar, de entrada no hay ninguna razón para creer que $U(n)$ es cíclico. Tal vez sea cierto para $U(25)$ . En segundo lugar, es imposible que, aunque fuera cíclico, ese 25 lo genere. Reflexiona un poco sobre esto.

Si conjeturas que (a) $U(25)$ es cíclico y (b) de hecho $2$ es un generador, entonces hay que comprobar que el orden teórico de grupo de $2$ es igual al orden de $U(25)$ . Ahora $U(n)$ tiene orden $\varphi(n)$ así que $U(25)$ tiene orden $\varphi(25)=20$ . Por lo tanto, tiene que demostrar que $2$ tiene orden $20$ en $U(25)$ . Esto significa que $2^{20}=1$ pero no hay poder positivo anterior rinde $1$ .

Usted ya sabe que $2^{20} = 1$ por Lagrange. Sin embargo, si hubo un asesino anterior de $2$ , digamos que $2^k=1$ entonces $k$ tendría que dividir $20$ (de nuevo por Lagrange). Ahora puedes terminar tu problema.

Answer 3

De forma más general

Si $G$ es un grupo y $g \in G$ satisface $g^n=1$ entonces $o(g)=n$ si $g^{n/p}\ne1$ para todos los primos $p$ dividiendo $n$ .

De hecho, si $o(g)=n$ entonces $g^k \ne 1$ para todos $0 < k < n$ .

Por el contrario, si $o(g)=m<n$ entonces $m$ divide $n$ . Escriba $n=md$ con $d>1$ y que $p$ sea un divisor primo de $d$ . Escriba $d=pe$ . Entonces $g^{n/p}= g^{me}=1$ .