Operaciones utilizadas en el teorema del isomorfismo

Question

Demostrar que $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\cong G=\{a+ib \in \mathbb{C}\;:\; a^2+b^2=1\}.$

En mi respuesta he intentado demostrar que existe una homomorfía entre $\mathbb{R}$ y G. También intenté demostrar que $Ker(f)=\mathbb{Z}$ y demostrar que f es sobreyectiva. Mi objetivo es utilizar el teorema del isomorfismo. Pero no he podido conseguirlo.

Si defino $f: \mathbb{R} \rightarrow G$ dado por $\alpha \longmapsto f(\alpha)= \cos(2\pi \alpha)+ i \sin(2\pi \alpha)$ como la misma que se da como pista en el libro de Herstein. Cometí grandes errores al principio. Me refiero a que estoy luchando por demostrar que $\mathbb{Z} = ker(f)$ Déjame mostrarte cómo escribí:

Dejemos que $Kef(f) \subset \mathbb{Z}=\{\alpha\in \mathbb{R}: \; f(\alpha)=1=1+i0\}$ . Demostré que si $\alpha \in \ker(f) \implies f(\alpha)=1+i0 \implies 1^2+ 0^2=1\in \mathbb{Z}.$

Pero, ¿cómo puedo probar que $\mathbb{Z}\supset kef(f)$ ?

Answer 1

$a\in Ker(f)$ si $f(a)=1$ si $a$ es un número entero y por lo tanto $\ker(f)=\mathbb{Z}$ .

[Respuesta para su duda; Observe que si $f(a)=1$ entonces $a$ debe ser un número entero. Para los valores no integrales de $a,$ $\cos 2\pi a$ no te dará $1.$ ]

Answer 2

Si $\cos(2\pi\alpha)+i\sin(2\pi\alpha)=1$ entonces $\cos(2\pi\alpha)=1\land\sin(2\pi\alpha)=0\implies\alpha\in\Bbb Z$ .