Determinación de la naturaleza de las singularidades aisladas

Question

Estoy trabajando en algunas preguntas de práctica del examen (y tengo las respuestas a estas preguntas) pero estoy teniendo problemas para desarrollar una "visión" adecuada de cómo se derivan estas respuestas:

(a) $$\frac{\sin z}{z^2}, \frac{\cos z-1}{z^3}$$ En ambos casos, tenemos un polo de orden 1 en $z=0$ y al evaluarlos, evaluamos los límites: $$\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z}, \frac{\cos z-1}{z^2}$$

Cuando hice estas preguntas yo mismo, mi primer pensamiento fue poner: $$g(0)=\lim_{z \to 0}(z^2f(z))=\lim_{z \to 0} \sin z = 0 $$ lo que obviamente sería incorrecto. Estoy asumiendo que la solución es en realidad hacer $$g(0)=\lim_{z \to 0}(zf(z))=\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 $$ Así que mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo sabemos que hay que multiplicar por $z$ en lugar de $z^2$ ? ¿Es sólo por intuición y sabiendo que esto "arreglaría" la función para hacerla analítica?

(b) Para la función $$ z^4\sin \left(\frac{1}{z}\right)$$ tenemos una singularidad en $z=0$ mi intuición es que se trata de una singularidad esencial porque no hay forma de "fijar" la función para hacerla analítica, pero las soluciones sugieren escribirla como una expansión de Laurent, a lo que luego dice simplemente que está claro $z=0$ es una singularidad esencial. ¿Esto se debe a que en la expansión de Laurent ninguno de los coeficientes es $0$ ?

(c) Para la función $$ \frac{1+z}{1-z^4}$$ tenemos singularidades en $z=1,-1,i,-i$ Si evalúo los límites (por ejemplo) $(z-1)f(z)$ como $z$ se acerca a 1, entonces todos dan algo distinto de cero, excepto $z=-1$ , entonces obtengo polos simples en $z=1,i,-i$ y un polo esencial en $z=-1$ . Pero las soluciones dicen que $z=-1$ ¿es un poste desmontable? ¿Por qué?

Agradecería mucho alguna ayuda para aclarar mis confusiones.

Muchas gracias.

Answer 1

Hay un montón de trucos rápidos para averiguar la ubicación y la naturaleza de la singularidad sin tener que lidiar con la expansión de Laurent.

Método 1: determinar cómo se transforma la singularidad mediante la composición y la aritmética.

Consideremos 2 funciones analíticas no constantes $f,g$ . Supongamos que ya determina los ceros y la singularidad aislada y que sabe (de alguna manera) que $f$ no tienen ninguna singularidad esencial. Para el polo y el cero, se supone que también se conoce su orden. Defina un polo de orden $k$ para ser un cero de orden $-k$ . Todos los demás puntos normales se suponen ceros de orden $0$ . Entonces:

1. $f\pm g$ . El punto de singularidad sólo aparece en la singularidad de al menos 1 de ellos. Si $g$ tienen singularidad esencial la suma sigue siendo singularidad esencial. Si tienen diferente orden de los ceros, entonces el más bajo es el orden de los ceros de la singularidad. Por ejemplo: $\frac{1}{e^{x^{2}}-1}+\frac{1}{z}$ . $\frac{1}{e^{x^{2}}-1}$ tienen un orden de polos 2 (por lo que el orden cero $-2$ ) y $\frac{1}{z}$ tienen un orden cero $-1$ , por lo que la suma tiene orden cero $-2$ es decir, el orden de los polos $-2$ . Si el orden del cero es el mismo, esto no funcionará.

2. $fg$ . El punto de singularidad sólo aparece en la singularidad de al menos 1 de ellos. Si $g$ tienen singularidad esencial, esto sigue siendo singularidad esencial. En caso contrario, basta con tomar la suma del orden. Por ejemplo, $z\frac{1}{e^{x^{2}}-1}$ . $z$ tienen un orden cero $1$ y $\frac{1}{e^{x^{2}}-1}$ tienen un orden cero $-2$ por lo que este producto es un cero de orden $-1$ (polo de orden 1).

3. $\frac{f}{g}$ . El punto de singularidad sólo aparece en la singularidad de al menos 1 de ellos. Si $g$ tienen singularidad esencial, esto sigue siendo singularidad esencial. En caso contrario, toma el orden cero de $f$ menos el orden cero de $g$ .

4. $f\circ g$ . La singularidad aparece sólo cuando $g$ tener uno, o en preimagen a través de $g$ de la singularidad de $f$ . Si $g$ es una singularidad esencial, entonces la composición podría producir una singularidad no aislada (así que sí puede ser bastante malo). Si $g$ tienen cero real (cero con orden positivo), entonces el orden cero de la composición es sólo el producto del orden. Si $g$ tienen polo real (orden cero negativo), entonces busca la potencia del término de mayor potencia en la serie de Laurent de $f$ y multiplicarlo por el orden cero de $g$ para obtener el orden cero de la composición (si $f$ no tienen el término de mayor potencia, esto producirá una singularidad esencial). Esto no es tan sencillo si $g$ no tienen ni polo ni cero.

Acabamos de asumir que al menos 1 función no tiene singularidad esencial. Si ambas funciones tienen singularidad esencial, este truco no funciona, excepto para la composición: la composición producirá singularidad esencial.

(una regla general rápida para recordar los trucos anteriores es que la singularidad esencial es infecciosa pero más difícil de aparecer, el polo y el cero dominados por el polo cuando se suman, se cancelan cuando se multiplican y se multiplican cuando se componen (sólo para el cero))

Método 2: buscar en tablas información sobre la función conocida.

En particular, para el polinomio, no tienen ninguna singularidad, y cero son la raíz, siendo el orden cero la multiplicidad de la raíz.

Método 3: construir una secuencia que se acerque a la singularidad y que satisfaga cierta propiedad:

Considere una analítica $f$ . Si te das cuenta de que una singularidad está en $z$ y se puede construir una secuencia $z_{n}\rightarrow z$ tal que la secuencia $f(z_{n})$ tienen la propiedad:

-El módulo oscila: entonces debe ser singularidad esencial.

-No convergen: entonces no pueden ser singularidades removibles.

-No divergir al infinito: entonces no puede ser polo.

Por desgracia, no se puede descartar la singularidad esencial con este truco.

Ahora volvamos al ejemplo de su caso. Podemos aplicar estos trucos.

$\frac{\sin z}{z^{2}}$ . Mira hacia arriba para encontrar $\sin z$ tienen un orden cero $1$ . $z^{2}$ tienen un orden cero $2$ . Así que este es el orden de los polos $1$ ( $1-2=-1$ ).

$\frac{\cos z-1}{z^{3}}$ . Desgraciadamente, el truco no te servirá para encontrar el cero del numerador. Basta con buscar la expansión de la serie de Taylor para encontrar $\cos z-1$ tienen un orden cero $2$ . $x^{3}$ tienen un orden cero $3$ . Así que esto se convierte en el orden del polo $1$ .

$z^{4}\sin\frac{1}{z}$ . $\frac{1}{z}$ es el orden de los polos $1$ pero $\sin$ tienen una expansión de Taylor infinita, por lo que $\sin\frac{1}{z}$ es la singularidad esencial. $z^{4}$ no tienen singularidad esencial, por lo que el producto sigue siendo singularidad esencial.

$\frac{1+z}{1-z^{4}}$ . $1-z^{4}$ tienen un orden cero $1$ en estos $4$ punto. $1+z$ tienen un orden cero $1$ sólo en $z=-1$ . Así que en $z=-1$ esta cancelación, por lo que no es un poste. En el otro punto no hay ningún orden cero en el numerador que anule al del denumerador, por lo que son polos de orden $1$ .

Answer 2

A) exactamente porque el límite es $0$ le dice que el factor $z^2$ tiene un grado demasiado grande. Así que el siguiente paso es explorar el factor $z$ .

b) Porque infinitos coeficientes para grados negativos son distintos de cero.

c) $(1-z^4)=(1-z^2)(1+z^2)=(1-z)(1+z)(1+z^2)$ .