Actualmente estoy estudiando afín álgebras de Lie y la WZW coset de la construcción. Tengo un problema técnico menor que en el cálculo de la (especializado) carácter de $\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k$ por un afín peso $\hat{\lambda} = [k-\lambda_1,\lambda_1]$. Dada la generalización de la función theta $$\Theta_{\lambda_1}^{(k)}(z,\tau) = \sum_{n\in\mathbb Z}e^{-2\pi i\left[knz+\frac 12\lambda_1 z-kn^2\tau-n\lambda_1\tau- \lambda_1^2\tau/4k\right]}$$ Quiero evaluar $$\chi^{(k)}_{\lambda_1} = \frac{\Theta^{(k+2)}_{\lambda_1+1} - \Theta^{(k+2)}_{-\lambda_1-1}}{\Theta^{(2)}_1 - \Theta^{(2)}_{-1}}$$ en $z=0$. Poner a $z=0$ directamente, tanto en el numerador y denomerator desaparecer (ya que no hay ninguna diferencia entre el$\lambda_1$$-\lambda_1$, debido a la suma). Así que mi pregunta es; ¿cuál es la manera apropiada de tomar el límite de $z\rightarrow 0$? [Esto es de Di Francesco et al, sección 14.4.2, página 585]. El resultado debe ser $$\chi^{(k)}_{\lambda_1} = q^{(\lambda_1+1)^2/4(k+2)-\frac 18}\frac{\sum_{n\in\mathbb Z}\left[\lambda_1 + 1 + 2n(k+2)\right]q^{n[\lambda_1+1+2(k+2)n]}}{\sum_{n\in\mathbb Z}\left[1+4n\right]q^{n[1+2n]}}$$ donde $q=e^{2\pi i\tau}$.
Pues me temo que la solución a mi pregunta es más bien trivial, tengo una pregunta extra. ¿Conoces algún papel que trabaja en los detalles para el coset $$\frac{\widehat{\mathfrak{su}}(N)_k\oplus \widehat{\mathfrak{su}}(N)_1}{\widehat{\mathfrak{su}}(N)_{k+1}}$$ para arbitrario $N$? Estoy pensando en algo como lo que Di Francesco et al. en la sección 18.3 $N=2$. Sería bueno si la referencia se relaciona esto a $\mathcal W$-álgebras.
