Estoy teniendo problemas para hacer ejercicios preparatorios sobre los puntos de densidad de Lebesgue, así que he decidido pediros pistas. Aquí pongo dos de ellos.
Un conjunto de Borel $E\subset \mathbb{R}^2$ tiene la propiedad de que cada punto de $[0,1]^2$ es un punto de densidad para $E$ . Demuestre que la medida de Lebesgue de $E$ no es menor que 1.
Determinar si existe un conjunto $E\subset \mathbb{R}$ tal que el conjunto de puntos de densidad de Lebesgue de $E$ es igual a $\mathbb{R}\setminus \{0\}$
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Estoy tratando de mostrar que $\mu(E)\ge 1-\epsilon$ para la arbitrariedad $\epsilon\gt 0$ pero no encuentro la manera. Todo lo que sé después de todos mis intentos es que para fijo $x\in [0,1]^2, \epsilon\gt 0$ tenemos por definición de L.d.p. $\mu(E\cap B(x,1/n))\gt (1-\epsilon)\mu(B(x,1/n))$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Además, estoy familiarizado con el teorema de diferenciación de Lebesgue y su corolario, que afirma que casi todos los puntos de $E$ es L.d.p., por lo que la desigualdad también es válida para $\mu$ -a.e. $x\in E$ .
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Supongo que es imposible que exista un conjunto así. Si asumo lo contrario, veo que $\lim_{r\to0} \frac{\mu(E\cap (-r,r))}{\mu((-r,r))}$ no existe o existe y es igual a $c\in [0,1)$ . Sin embargo, no veo cómo derivar la contradicción.
Toda su ayuda es muy apreciada.
