¿Cómo se obtiene esta suma de Matsubara, tal como se presenta en Wikipedia?

Question

En la página de Wikipedia sobre las frecuencias de Matsubara se presenta la siguiente fórmula, $$ \sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n)^2 - \xi^2} = -\frac{\xi}{2}\Big(1 - 2 N_{\text{FD}}(\xi)\Big), $$ donde $\omega_n = (2n+1)\pi/\beta$ son las frecuencias fermiónicas de Matsubara y $N_{\text{FD}}(x):= (e^{\beta x}+1)^{-1}$ es la función de distribución de Fermi-Dirac.

Estoy familiarizado con el teorema del residuo y puedo derivar resultados "más fáciles" que implican sumas de Matsubara. Sin embargo, en este caso no veo cómo derivar el resultado. Supongo que es necesario incluir el factor de convergencia habitual $e^{i\omega_n\eta}$ con $\eta\rightarrow0$ al final del cálculo, de lo contrario la suma ni siquiera convergería. Se agradecería cualquier ayuda o referencia.

La razón por la que pregunto esto, es porque en realidad quiero evaluar una suma Matsubara de la forma $$ \sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n - \xi_1)(i\omega_n - \xi_ 2)}. $$

Answer 1

Resulta que estaba pasando por alto algo obvio. Mi razonamiento fue: hay dos polos situados en $i\omega_n = \pm \xi$ ¿cómo es que sólo hay una distribución Fermi-Dirac evaluada en un polo? Utilizando la identidad $N_{\text{FD}}(-x) = 1 - N_{\text{FD}}(x)$ resuelve este problema. Indicando los pasos habituales por puntos (ir al plano complejo; cerrar el contorno adecuadamente, etc.), se obtiene

\begin{align} \sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n)^2 - \xi^2} &= \sum_{i\omega_n} \frac{(i\omega_n)^2}{(i\omega_n - \xi)(i\omega_n + \xi)} \\ &=\dots \\ &=\frac{\xi^2}{2\xi}N_{\text{FD}}(\xi)+\frac{\xi^2}{-2\xi}N_{\text{FD}}(-\xi) \\ &=-\frac{\xi}{2}\Big(1 - 2 N_{\text{FD}}(\xi)\Big) \end{align}