Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto. ¿La diagonal $\Delta X \subset X \times X$ tienen un barrio (cerrado) $N$ , de manera que los mapas de proyección canónica $N \to X$ ¿son adecuadas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No siempre.
El primer ordinal incontable $\omega_1$ cuando se da la topología de orden habitual, proporciona un contraejemplo.
Que este espacio es localmente compacto es bastante conocido. Afirmo que ninguna vecindad (cerrada) de la diagonal en $\omega_1 \times \omega_1$ tiene mapas de proyección canónica adecuados.
(Recordemos que un mapa correcto es aquella para la que la imagen inversa de todo conjunto compacto es compacta. Recordemos también que todo subconjunto compacto de $\omega_1$ está acotado).
Para ver que esta afirmación es cierta, supongamos $U$ es una vecindad de la diagonal en $\omega_1 \times \omega_1$ . Para cada $\alpha \in \omega_1$ Hay algunos $\alpha^U_0$ , $\alpha^U_1$ , ambos estrictamente inferiores a $\alpha$ , de tal manera que $(\alpha^U_0,\alpha] \times (\alpha^U_1,\alpha] \subseteq U$ (porque los conjuntos de esta forma proporcionan una base para la topología en $\omega_1 \times \omega_1$ ). La función $\alpha \mapsto \alpha^U_0$ es regresivo, por lo que podemos aplicar El lema de Fodor de presionar hacia abajo La respuesta a la pregunta: ¿hay algo de $\gamma \in \omega_1$ y una estacionaria $S \subseteq \omega_1$ tal que $\alpha^U_0 = \gamma$ para todos $\alpha \in S$ . Esto significa que $$\{\delta \in \omega_1 : (\gamma+1,\delta) \in U\}$$ es incontable (contiene $S$ ), por lo que no es compacto. Pero este conjunto es también la imagen inversa de $\{\gamma+1\}$ bajo el mapa de proyección canónica sobre la primera coordenada. Por lo tanto, esta proyección no es perfecta.
