¿Cuál es la restricción de un espacio vectorial complejo $V_C$ sea un espacio vectorial real?

Question

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita, y $T\in L(V)$ . Sea $W=Res_{\mathbb C/\mathbb R}V$ sea la restricción de $V$ . Sea S= $Res_{\mathbb C/\mathbb R}T\in L(W)$ sea el operador inducido en W. Supongamos que $T$ tiene $\lambda$ como un valor propio no real. Demuestre que $S_C$ tiene ambos $\lambda$ y $\overline \lambda$ como valores propios

Lo anterior es el problema que intentaba resolver, pero no entiendo el significado de "restricción de V".

Sé que el espacio vectorial complejo puede considerarse como la "complejización" de un espacio vectorial real. Por ejemplo, supongamos que $V$ es un espacio vectorial real sobre el campo numérico real $\mathbb R$ y $ V \times V=V_{ C}$ puede considerarse como la "complejización" de $V$ Así que $V_C$ se considera un espacio vectorial complejo sobre un campo $\mathbb C$ .

Entonces como hasta ahora, mi comprensión de esta "restricción" de un espacio vectorial complejo $V_C$ en $\mathbb C$ significa que $V_C$ es "degradar" de nuevo a $V$ y hacer $V$ para ser un espacio vectorial real sobre $\mathbb R$ . Y luego en $V_C$ todos los vectores tienen la forma de $u+iv$ y puede ser escalado por números complejos como $a+bi$ pero después de la restricción, los vectores en $V$ son sólo $u,v$ y así sucesivamente y sólo puede ser escalado por números reales. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Entiendo tu dilema... pero, primero, si $V'$ es un espacio vectorial complejo obtenido mediante la complejización de un espacio vectorial real $V$ Es decir, es pas el caso de que la "restricción de escalares" de $V'$ es $V$ de nuevo. Es isomorfo a una suma directa de dos copias. Las operaciones de "complejización" y "restricción de escalares de complejo a real" no son inversa sino "adjunto", en un sentido categórico.

Es estructuralmente mejor (aunque no más explicativo en una primera pasada) decir que la complejización de un espacio vectorial real $V$ es $V\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ en lugar de descripciones más ad hoc y dependientes de las coordenadas.

En particular, para ser claros, si repetimos complejizar-restringir-complejizar-restringir duplicaremos la dimensión real en cada ciclo de complejizar-restringir.