Demostrar por inducción $3+3 \cdot 5+ \cdots +3 \cdot 5^n = \frac{3(5^{n+1} -1)}{4}$

Question

Mi pregunta es:

Demostrar por inducción que $$3+3 \cdot 5+ 3 \cdot 5^2+ \cdots +3 \cdot 5^n = \frac{3(5^{n+1} -1)}{4}$$ siempre que $n$ es un número entero no negativo.

Estoy atascado en el paso de la base.

Si empezara con $1$ . Me sale el lado derecho es $18$ que claramente no está ni siquiera cerca. Dice probar ¿no debería ser siempre cierto?

Answer 1

Dejemos que $S(n)$ sea la declaración: $3+3\cdot{5}+\cdots+3\cdot{5^{n}}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{n+1}-1)}{4}$ ; $n\geq{0}$

Paso de base: $S(0)$ :

LHS: $3\cdot{5^{(0)}}=3$

RHS: $\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{(0)+1}-1)}{4}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{1}-1)}{4}$

$\hspace{35.5 mm}=\dfrac{3(4)}{4}$

$\hspace{35.5 mm}=3$

$\hspace{52.5 mm}$ LHS $=$ RHS $\hspace{1 mm}$ (verificado.)

Paso inductivo:

Supongamos que $S(k)$ es verdadera, es decir, suponer que $3+3\cdot{5}+\cdots+3\cdot{5^{k}}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{k+1}-1)}{4}$ ; $k\geq{0}$

$S(k+1)$ : $\underline{3+3\cdot{5}+\cdots+3\cdot{5^{k}}}+3\cdot{5^{k+1}}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{k+1}-1)}{4}+3\cdot{5^{k+1}}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{k+1}-1)+12\cdot{5^{k+1}}}{4}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\cdot{5^{k+1}}-3+12\cdot{5^{k+1}}}{4}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{15\cdot{5^{k+1}}-3}{4}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\cdot{5\cdot{5^{k+1}}}-3}{4}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\cdot{5^{k+2}}-3}{4}$

$\hspace{12.5 mm}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{k+2}-1)}{4}$

Así que, $S(k+1)$ es verdadera siempre que $S(k)$ es cierto.

Por lo tanto, $3+3\cdot{5}+\cdots+3\cdot{5^{n}}=\dfrac{3\hspace{1 mm}(5^{n+1}-1)}{4}$ ; $n\geq{0}$ .