Demostrar por inducción $3+3 \cdot 5+ \cdots +3 \cdot 5^n = \frac{3(5^{n+1} -1)}{4}$

Question

Mi pregunta es:

Demostrar por inducción que $$3+3 \cdot 5+ 3 \cdot 5^2+ \cdots +3 \cdot 5^n = \frac{3(5^{n+1} -1)}{4}$$ siempre que $n$ es un número entero no negativo.

Estoy atascado en el paso de la base.

Si empezara con $1$ . Me sale el lado derecho es $18$ que claramente no está ni siquiera cerca. Dice probar ¿no debería ser siempre cierto?

Answer 1

Para $n=1$ ya que $3 + 3 \times 5^1= 3+15 = 18$ no hay problema con que el lado derecho sea $18$ también.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que el caso base es $n=0$ La condición es $n$ no negativo, y entonces el lado izquierdo es $3$ al igual que el lado derecho, que es $3 \times (5^{0+1}-1)/4 = 3$ .

Answer 2

Como quiere probar para $n$ no negativo y entero, su base es $n=0$

Sólo tienes que demostrar que $\frac{3(5^{0+1} -1)}{4} = 3$ y es cierto, porque $\frac{3(5^{0+1} -1)}{4} = \frac{3(5 -1)}{4} = \frac{3.4}{4} = 3$

Si quieres hacer por $n = 1$ :

Para $n=1$ tienes eso:

$3 + 3.5 = 18$ y $\frac{3(5^{1+1} -1)}{4} = \frac{3(5^2 -1)}{4} = 18$

Answer 3

Prueba por inducción en $n$ ;

Establezca su inducción base para $n = 1$ que le da $18 = 18.$

Supongamos que su ecuación es verdadera para $n$ . Nos interesa demostrar su corrección para $n+1.$ Así que

$3 + 3 \times 5 + \cdots + 3 \times 5^n + 3 \times 5^{n+1} = \frac{3 \times 5^{n+1} - 3}{4} + 3 \times 5^{n+1} = \frac{3 \times 5^{n+1} - 3 + 12 \times 5^{n+1} }{4} = \frac{3 ( 5^{n+1} + 4 \times 5^{n+1}) - 3}{4} = \frac{3 ( 5^{n+2} - 1)}{4}$

utilizando los pasos de inducción. Y ya hemos terminado.

Answer 4

Si $\,P(n)\,$ es $\,\sum_{k=0}^{n} f(k)\, =\, g(n)$ entonces una prueba inductiva de que $\,P(n)\,$ es cierto para todos para todos $\,n\ge \color{#c00}a$ tiene caso base $\,n = \color{#c00}{a},\,$ es decir, el menor valor reclamado verdadero - el punto de partida de la inducción.

Su reclamación es para todos no negativo enteros, es decir, para todos los $\,n\ge \color{#c00}0,\,$ por lo que su caso base es $\,n = \color{#c00}0$ .

Así que $\,P(0)\,$ es $\,\sum_{k=0}^{0} f(k)\, =\, g(0)$ que es simplemente $f(0) = g(0),\,$ verdadero en su caso por

$$f(k) = 3\cdot 5^k\, \Rightarrow\ f(\color{#c00}0) = 3\cdot 5^{\color{#c00}0} = 3 = \frac{3(5^{\color{#c00}0+1}\! -1)}{4} = g(\color{#c00}0)\,\Leftarrow\, g(n) = \frac{3(5^{n+1}\! -1)}{4}$$

El paso inductivo es quizás más fácil por telescopio es decir, se simplifica como sigue

Si $\qquad f(0) + f(1)+\cdots + f(n)\quad =\quad \color{#0a0}{g(n)}$

entonces $\ \ \ f(0) + f(1)+\cdots +f(n) + \color{#90f}{f(n\!+\!1)}\,=\,\color{#0a0}{g(n\!+\!1)}\iff \color{#90f}{f(n\!+\!1)}=\color{#0a0}{g(n\!+\!1)-g(n)}$

Esto más el caso base $\,f(0)=g(0)\,$ se combinan para dar una prueba inductiva de este Teorema:

$$\sum_{k=0}^{n} f(k)\, =\, g(n)\,\iff\, \underbrace{f(n\!+\!1) = g(n\!+\!1)-g(n)}_{\large \rm inductive\ step}\,\ {\rm and}\,\ \underbrace{f(0) = g(0)}_{\large\rm base\ case}$$

Su caso es $\,g(n) = \frac{3(5^{n+1} -1)}{4}\,$ por lo que, según lo anterior, el paso de inducción es válido para esta $\,g(n)\,$ si $\, g(n\!+\!1)-g(n) = f(n\!+\!1) = 3\cdot 5^{n+1},\,$ que puede ser verificado por la aritmética de la escuela secundaria.

Nota: $ $ Obsérvese que el teorema reduce la prueba inductiva a la simple comprobación de las ecuaciones subyacentes para $\,f\,$ y $\,g,\,$ que es un mecánico cálculo tan sencillo que puede realizarlo un estudiante de bachillerato (o un ordenador). En particular, no se requiere ingenio ("magia"), no hay que sacar conejos de una chistera para construir el paso inductivo.

La demostración inductiva del teorema general es mucho más fácil que la de los casos especiales porque la cancelación que se produce es mucho más obvia a este nivel de generalidad, mientras que suele estar ofuscada por los detalles de los casos concretos. En concreto, la demostración del teorema general no es más que una demostración inductiva rigurosa de lo siguiente telescópico cancelación

$$ \underbrace{\overbrace{g(0)}^{\Large f(0)}\phantom{-g(0)}}_{\Large =\ 0}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{-\,g(0) +\!\phantom{g(1)}}^{\Large\!\!\!\!\! +\ \ \ f(1)} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{g(1) -g(1)}_{\Large =\ 0}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\phantom{-g(1)}\!+ g(2)}^{\Large \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! +\quad\ \ \ f(2) }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{\phantom{g(2)}-g(2)}_{\Large =\ 0}\!+\: \overbrace{\underbrace{\cdots\phantom{I_{I_I}\!\!\!\!\!\!\!\!}}_{\Large =\ 0}+\,\color{#0a0}{g(n)}}^{\Large \!\!\!\!\! +\ \ \ f(n)}\ =\ \color{#0a0}{g(n)} $$

Puede encontrar muchos más ejemplos de la telescopía y resultados relacionados en otras respuestas aquí. Ver también esta respuesta para una demostración más detallada del Teorema.

Answer 5

Ayudar con el problema.

Estoy atascado en el paso de la base.

$p(n)$ : $3+3 \cdot 5+ 3 \cdot 5^2+ \cdots +3 \cdot 5^n = \dfrac{3(5^{n+1} -1)}{4}$ . Donde $n \in \{0, 1, 2, \dots \}$ .

Podemos reescribir el predicado. $p(n)$ : $\sum_0^n3\cdot5^n = \dfrac{3(5^{n+1} -1)}{4}$

Caso base: Aquí hay que empezar en 0 porque sólo "inducimos" hacia arriba. $p(0): \sum_0^03\cdot5^n = \dfrac{3(5^{n+1} -1)}{4}$

$\implies 3 = \dfrac{3(5^1 -1)}{4} = 3 \checkmark$

Ahora te toca a ti demostrar que $p(n) \implies p(n+1)$ e interpretar los resultados.