Para cada $f\in C^*(Y)$ dejar $\mathbb{R}_f$ sea una copia de $\mathbb{R}$ y definir $$e_Y:Y\to\prod_{f\in C^*(Y)}\mathbb{R}_f:y\mapsto \left\langle f(y):y\in C^*(Y)\right\rangle\;;$$ $e$ es el mapa de evaluación y es un homeomorfismo de $Y$ en $\prod_f\mathbb{R}_f$ .
Del mismo modo, para cada $f\in C^*((0,1))$ dejar $\mathbb{R}_f$ sea una copia de $\mathbb{R}$ y definir $$e:(0,1)\to\prod_{f\in C^*((0,1))}\mathbb{R}_f:x\mapsto \left\langle x,f(x):f\in C^*((0,1))\right\rangle\;;$$ $\beta((0,1))$ es el cierre de $e[(0,1)]$ en $\prod_f\mathbb{R}_f$ .
Dejemos que $\varphi:(0,1)\to Y:x\mapsto \langle x,\sin\frac1x\rangle$ y que $\Phi:\beta((0,1))\to Y$ sea la extensión de Čech-Stone de $\varphi$ . Dado un punto $$x = \left\langle x_f:f\in C^*((0,1))\right\rangle$$ en $\beta((0,1))$ queremos determinar $\Phi(x)$ . El primer paso es definir la función $$\hat\varphi:\prod_{f\in C^*((0,1))}\mathbb{R}_f\to\prod_{f\in C^*(Y)}\mathbb{R}_f$$ que lleva $x=\left\langle x_f:f\in C^*((0,1))\right\rangle$ al grano $y=\left\langle y_f:f\in C^*(Y)\right\rangle$ tal que $y_f = x_{f\circ\varphi}$ para cada $f\in C^*(Y)$ . (Claramente $f\circ\varphi\in C^*((0,1))$ siempre que $f\in C^*(Y)$ Así que esto tiene sentido). Te dejo que verifiques que $\hat\varphi$ es continua. Ahora dejemos que $\Phi = e_Y^{-1}\circ \big(\hat\varphi\upharpoonright\beta((0,1))\big)$ ; $\Phi$ es claramente un mapa continuo de $\beta((0,1))$ a $Y$ y no es difícil ver que $\Phi\circ e=\varphi$ es decir, que $\Phi$ es la extensión de Čech-Stone de $\varphi$ . Esto nos da una descripción concreta de $\Phi$ .
En particular, comience con $x = \left\langle x_f:f\in C^*((0,1))\right\rangle\in\beta((0,1))$ . Entonces $\hat\varphi(x) =$ $\left\langle y_f:f\in C^*(Y)\right\rangle$ , donde $y_f=x_{f\circ\varphi}$ para cada $f\in C^*(Y)$ y $\Phi(x)$ es el único punto $p\in Y$ tal que $e_Y(p) = \left\langle y_f:f\in C^*(Y)\right\rangle$ es decir, tal que $f(p)=x_{f\circ\varphi}$ para cada $f\in C^*(Y)$ .
Ahora dos de las funciones en $C^*(Y)$ son los mapas de proyección a los ejes. Para cada $\langle x,y\rangle \in Y$ dejar $\pi_0(\langle x,y\rangle)=x$ y $\pi_1(\langle x,y\rangle)=y$ . Sea $x = \left\langle x_f:f\in C^*((0,1))\right\rangle\in\beta((0,1))$ y supongamos que $\Phi(x) = \langle a,b\rangle \in Y$ . Sea $y = \left\langle y_f:f\in C^*(Y)\right\rangle=e_Y(\langle a,b\rangle)=\hat\varphi(x)$ . Por el párrafo anterior sabemos que $a = \pi_0(\langle a,b\rangle) = x_{\pi_0\circ\varphi}$ y $b=\pi_1(\langle a,b\rangle)=x_{\pi_1\circ\varphi}$ . En otras palabras, $\Phi(x)$ está completamente determinada por dos coordenadas de $x$ , $x_{\pi_0\circ\varphi}$ y $x_{\pi_1\circ\varphi}$ . Específicamente, $$\Phi(x) = \langle x_{\pi_0\circ\varphi},x_{\pi_1\circ\varphi}\rangle\in Y\;.$$
Como una rápida comprobación de cordura, supongamos que $a\in (0,1)$ . El punto correspondiente de $\beta((0,1))$ es $\left\langle f(a):f\in C^*((0,1))\right\rangle$ que es enviado por $\Phi$ a $$\begin{align*} \left\langle\pi_0(\varphi(a)),\pi_1(\varphi(a))\right\rangle &= \left\langle \pi_0\left(\left\langle a,\sin\frac1a\right\rangle\right), \pi_1\left(\left\langle a,\sin\frac1a\right\rangle\right)\right\rangle \\ &= \left\langle a,\sin\frac1a\right\rangle \\ &= \varphi(a)\;, \end{align*}$$ como debe ser.
