Si $a$ es una raíz de $x^2(x-5)+2$ Entonces, ¿qué es $[a^4]$ ?

Question

Si $a$ es la raíz más grande de $f(x)=x^2(x-5)+2$ Entonces, ¿qué es $[a^4]$ donde $[\ ]$ es un corchete de Gauss (es decir $[x]$ es el mayor número entero no estrictamente mayor que $x$ )

Aquí $f(5)=2,\ f(4)=-14$ . Al considerar $f'(x)$ podemos saber que $a$ está en un intervalo abierto $(4,5)$ .

Si $b_0=4$ entonces definimos $b_n$ : $$ \frac{f(5)- f(b_n) }{5-b_n } (b_{n+1} - 5) +f(5) =0 \ (i.e. b_{n+1} = 5- \frac{2}{b_n^2} ) $$

Obsérvese que una secuencia creciente $b_n$ s.t. $|\dfrac{b_{n}-b_{n+1} }{b_{n-1} - b_{n} } |\leq \frac{1}{12}$ va a $a$ desde $f''(x)>0$ en $[4,5]$ . Y $$ a\in [b_3,b_3+C],\ C = \frac{7}{8\cdot 11 \cdot (12)^2} $$

Aquí $[(b_3)^4] =[(b_3+C)^4]=584$ Pero esta es una forma numérica. ¿Cómo podemos calcular $[a^4]$ ¿en el nivel de secundaria?

Answer 1

Combinando dos ideas de los comentarios.

Dejemos que $a,b,c$ sean los ceros con $a$ el más grande. Al ampliarlo vemos que $$f(x)f(-x)=4-20x^2+25x^4-x^6=-g(x^2),$$ donde $$g(x)=x^3-25x^2+20x-4$$ tiene $a^2,b^2$ y $c^2$ como sus ceros. Por las relaciones de Vieta se deduce que $$ s_1:=a^2+b^2+c^2=25 $$ y el segundo polinomio simétrico $$ s_2:=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=20. $$ Por lo tanto, $$ a^4+b^4+c^4=s_1^2-2s_2=585. $$ Pero $f(-3/4)<0<f(0)$ y $f(3/4)<0$ Así que $|b|$ y $|c|$ son ambos $<3/4$ . Por lo tanto, $0<b^4+c^4<1$ y por lo tanto $$ 584<a^4<585. $$